Сборник задач по операционному исчислению возник на основе опыта
Отыскание оригинала по изображению
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Pdf көрінісі
|
tfkp-operations
- Бұл бет үшін навигация:
- 3.1 Разложение на простейшие дроби.
- Пример 18.
3. Отыскание оригинала по изображению
Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) нужно использовать формулы обращения Римана-Меллина. Если функция f(t) является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1-3 определения 1 и F(p) служит ее изображением, то в любой точке своей непрерывности функция f(t) равна: ) 5 ( ) ( lim 2 1 ) ( ò + - ¥ ® p = iw a iw a pt w dp p F e i t f
получающийся интеграл (в смысле главного значения) берется вдоль любой прямой Re .
s = >
0
Ясно, что при вычислении f t ( ) применяется весь аппарат ТФКП. На практике используются следующие приемы. 3.1 Разложение на простейшие дроби. Если F p A p B p ( )
( ) ( )
= есть дробно-рациональная функция, причем степень числителя A p ( ) меньше степени знаменателя B p ( ) , то эту дробь разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби либо непосредственно по формуле (1), либо по таблице из пункта 2.
( )
. = - + 2 2 5
формулам 10 и 11 таблицы пункта 2. , 4 ) 1 ( 1 4 ) 1 ( 1 4 ) 1 ( 1 ) 1 ( 5 2 2 2 2 2 + - + + - - = + - + - = + - p p p p p p p p
p e t p e t t t - - + ® × - + ® 1 1 4 2 1 2 2 1 4 1 2 2 2 2 ( ) cos ,
( ) sin . Окончательно p p p e t t t 2 2 5 2 1 2 2 - + ® + (cos sin )
Пример 18. Найти оригинал функции F p p ( )
. = - 1 8 3 Решение. Используем элементарные приемы разложения, известные из интегрального исчисления. Разложим данную дробь на простейшие: 1 8
2 4 2 4 2 2 2 4 3 2 2 2 p A p Bp C p p A p p p Bp C p p p - = - + + + + = + + + - + - + + ( ) ( )( ) ( )( ) . Приравниваем числители ( ) (
A B p A B C p A C + + - + + - = 2 2 2 4 2 1
p A B A B C A C A B C 2 1 0 2 2 0 4 2 1 1 12 1 12 1 3 : : : + =
- + =
- = ü ý ï þ ï ® = = - = -
ü ý ï ïï þ ï ï ï
1 8 1 12 1 2 1 12 4 2 4 1 12 1 2 1 12 1 1 3 3 12 3 1 3 3 2 2 2 2 2 p p p p p p p p p - = × - - × + + + = × - - × + + + - × + + ( ) ( ) ( ) ( ) . Используя формулы 3, 10, 11 из таблицы пункта 2, получим: f t e e t t t t ( )
(cos sin
). = - + - 1 12 1 12 3 3 3 2
В следующих задачах найти оригиналы по заданным изображениям. 19. F p p p ( )
( )( ) = - - 1 1 4 2 Ответ: f t e e e t t t ( )
. = -
+ + - 1 3 1 4 1 12 2 2
20. F p p p p p ( )
( ) ( ) = + - + 3 4 3 2 Ответ: f t e e t t ( )
. = -
+ 1 2
3 21. F p p p p ( )
( ) = - + 1 5 4 4 2 Ответ: f t t t ( )
. = -
+ 1 4 1 3 1 12 ch
ch 2 22. F p p p ( )
= + + 1 4 5 2 Ответ: f t e t t ( )
sin . = -2 23. F p p p ( )
= + + 1 4 3 2 Ответ: f t e e t t ( )
( ). = - - - 1 2 3 24. F p p ( )
( ) = + 1 1 2 2 Ответ: f t t t t ( )
(sin cos ).
= - 1 2 25. F p p p ( )
( ) = + 2 2 1 Ответ: f t t t ( )
sin . = 1 2 26. F p p p p ( )
= + + 1 2 2 3 Ответ: f t e te t t ( )
. = -
- - - 1 27. F p p p ( )
= - +
1 7 2 Ответ: f t e t t ( )
sin . = 2 3 9 3 3 2 2
28. F p p p p p p p ( )
= + + + + + 2 2 2 2 2 3 2 5 4 3 Ответ: f t t e t t ( )
sin . = + - 2 2 2 29. F p p p p p ( )
( )( )( ) = + + - + 2 1 2 4 2 Ответ: f t e e t t t t ( )
cos sin .
= - - - - 1 6 1 15 1 10 2 1 5 2 2 3.2. Первая теорема разложения Теорема. Если изображение искомой функции может быть разложено в степенной ряд по степеням 1
,т.е.
F p a p a p a p n n ( )
( ) = + + ××× + + ×××
+ 0 1 2 1 6 (причем этот ряд сходится к F p ( ) при | | lim
> =
¹ ¥ ®¥ +1 ), то оригинал имеет вид f t a a t a t a t n n n ( )
! ! ! ( ) = + + + ××× +
+ ××× 0 1 2 2 1 2 7
(причем ряд сходится при всех значениях t ). Пример 30. Найти оригинал функции F p p p ( )
( ) , = + 1 1 4 используя первую теорему разложения. Решение. Имеем F p p p p p p p p ( )
( ) = + = × + = - + - ×××
1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 5 4 5 9 13 Этот ряд сходится при | | .
> 1
Находим f t t t t t ( )
! ! = - + - + ××× 4 8 12 16 4 8! 12 16!
С помощью первой теоремы разложения найти оригиналы. 31. F p p a k k ( )
, = + 1 где k - целое положительное число. Ответ: f t t k a t k a t k k k k k k ( )
! ( )! ( )! = - + - ×××
2 2 3 2 3
32. F p p ( )
sin = 1 Ответ: f t t t ( )
! ! ! !
= - + - ××× 1 3 2
5 4 2 4
Она утверждает, что при определенных условиях на ) ( p F , как функцию комплексного переменного, оригиналом для ) ( p F служит функция [ ]
= ) ( ) ( ) ( k p pt e p F res t f ,
(8)
где сумма вычетов берется по всем особым точкам k p функции ) ( p F в порядке неубывания их модулей. В частности, если ) (
( ) ( p B p A p F = – правильная рациональная дробь, то оригиналом ее служит функция å å = = - = = - = j j j k m m t p j m k m j l j j e m k t A t f 1 , 1 )! ( ) (
(9) где
[ ] î í ì - - = - - ®
k j m m p p m j e p F p p dp d m A j j ) ( ) ( lim )! 1 ( 1 1 1 ,
(10)
j p – полюсы ) ( p F кратности j k ) , 1 (
j = , j k m , 1 = . Если все полюсы ) ( p F простые, то формула упрощается и имеет вид å =
= l j j t p j j j e p B p A t f 1 ) ( ' ) ( ) (
(11) Пример 33. Найти оригинал по его изображению ) 1
1 ) ( 3 - = p p p F . Решение. Для функции ) ( p F точка
0 1 = p является полюсом 3-го порядка, а 1 2
p – простым полюсом. Для отыскания оригинала по формуле (8) найдем вычеты функции ) 1
) ( ) ( 3 - = =
p e e p F p Ф pt pt в
этих полюсах. По формулам (9), (10) [ ]
1 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 )( ( lim ! 2 1 ) 1 ( lim
! 2 1 ) 0 ( 2 3 2 2 0 2 0 2
t p t tp p t p t e p e d d resФ pt p pt h p - - - = - - - - - - = - = ® ® . По формуле (11): [ ]
t p e e p p resФ = - = = ' 1 3 4 1 ) 1 (
e t t resФ o Ф res p F + - - - = + ® × × 2 1 ) 1 ( ) ( ) ( 2 . Пример 34. Найти оригинал по изображению 2 2 3 ) 1 ( ) ( + =
p p F
Решение. Представим ) ( p F в другом виде
2 3 ) ( ) ( ) (
p i p p p F + - =
Точки i p = 1 и i p - = 2 являются для F(p) полюсами 2-го порядка. Вычислим вычеты функции
) ( ) ( = F в этих полюсах. [ ]
pt i p pt i p e i t i p p i p t p p e i p e p dp d i res ÷ ø ö ç è æ - = + - + + = + = F ® ® 4 2 1 ) ( 2 ) )( 3 ( lim
) ( lim ! 1 1 ) ( 3 3 3 2 2 3
[ ]
pt i p pt i p e i t i p p i p t p p e i p e p dp d i res - ® ® ÷ ø ö ç è æ + = - - - + = - = - F 4 2 1 ) ( 2 ) )( 3 ( lim ) ( lim ! 1 1 ) ( 3 3 3 2 2 3 Окончательно: i it e i t e i t i res i res p F - · · ÷ ø ö ç è æ + + ÷ ø ö ç è æ -
= - F + F = 4 2 1 4 2 1 ) ( ) ( ) ( a
t t e e i t e e it it it it sin
2 cos
) ( 2 1 2 ) ( 2 1 - = - × - + = - - . Пример 35. Найти оригинал по изображению 3 )
( 1 ) ( - = p p F , используя 2-ю теорему разложения. Решение. 1 =
-полюс 3-го порядка. Найдем в нем вычеты функции
3 ) 1 ( ) ( ) ( - = = F
e e p F p pt pt
= = ÷÷ ø ö çç è æ - - = F ® ®
p pt p e dp d p e p dp d res 2 2 1 3 3 2 2 1 lim ! 2 1 ) 1 ( ) 1 ( lim
! 2 1 ) 1 (
= ) ( 2 ) ( lim ! 2 1 2 2 1 t f e t e t t pt p = = ® .
Пример 36. Найти оригинал по изображению F p p p p p p ( )
( )( )( )( ) . = + + + + 1 2 3 4 Решение. Имеем четыре простых полюса p p p p 1 2 3 4 1 2 3 4 = - = -
= - = -
, , , .
Найдем вычеты в них по формуле (11). Нам понадобится производная знаменателя. Он имеет вид ( )( )( ) ( )( )
p p p p p p p p p p p + + + + = + + + + = = + + + + 1)(
2 3 4 3 2 7 12 4 10 3 35 2 50 24.
2 2
Его производная 4 3 30 2 70 50 p p p + + + . Вычеты в простых полюсах r e t e t 1 1 4 30 70 50 6 = - × - - + - + = - - ,
e t e t 2 2 2 32 120 140 50 2 = - ×
- - + - + = - ,
e t e t 3 3 3 108
270 210
50 3 3 2 = - × - - + - + = - - , r e t e t 4 4 4 256
480 280
50 2 4 3 = - × - - + - + = - .
Окончательно ( ) f t r r r r e t e t e t e t ( )
. = + + + = - - - - + - - - 1 2 3 4 1 6 6 2 9 3 4 4
Используя различные приемы, найти оригиналы по данным изображениям.
37. F p p p p p p ( )
( )( )( )( ) . = + + + + 1 2 3 4 Ответ: f t t et tet et te t e t ( )
. = + - + - + - æ èç ö ø÷ 1 27 3 2 2 2 2 2
38. F p p p p p ( )
. = - + - 4 2 3 2 Ответ: f t e t t ( )
. = - - 2 4 3
39. F p p p p p ( )
. = - + - 1 4 6 3
11 2 6 Ответ: f t e t e t e t ( )
. = -
+ - + 1 6 1 2 1 2 2 1 6 3
40. F p p p ( )
( ( . = - + 1 1)3 3
1)
Ответ:
( )
( ) sin( ). = - + - - + + 1 8 2 2 6 3 1 24 2 3 3 2 6 p
41. F p p p p p ( )
. = + + + + 1 4 2 3 3 2 2 1 Ответ: f t e t t t t ( )
(sin cos ).
= - - 2 3 2
42. F p p p p p p ( )
. = + - + + + 2 2 1 3 3 2 3 1 Ответ: f t e t t ( )
( ). = - - 1 2
43. F p p p ( )
. = + 3 1 Ответ: f t e t t t ( )
cos sin
. = + æ èç ö ø÷ 1 3 2 3 2 3 3 2
44. F p p p p p ( )
. = + + + 2 3 3 4 2 5 Ответ: ( )
e t t t ( )
sin cos .
= + - - 3 5 1 5 2 4 3
45. F p p p ( )
( ( ) . = - + 1 1)2 2 Ответ: ( )
e t et tet ( )
. = - - + 1 9 2 3 46.
F p p p p p p ( )
. = + - - + - 2 2 1 3 2 2 2 1 Ответ: f t e t e t t t ( )
sin cos
. = + - æ èç ö ø÷ 2 2 5 3 3 3 2 3 2 47.
F p p p ( )
( . = - 3 2
3 1)2
Ответ: f t te t te t t t ( )
(cos sin
) = - - + 1 3 1 3 2 3 2 3 3 2
48. F p p p p p p ( )
( )( ) . = + - - - 1 1)(
2 3 Ответ: f t e t e t e t ( )
. = -
+ - + 1 6 3 2 2 2 3 3
49. F p p p ( )
( . = + 1 2 2 1) Ответ: f t t t ( )
sin = -
50.
F p p ( ) . ln( ) =
1 1 . Ответ: ( )
t et ( )
. = - 1 1
51. F p p p p p ( )
. = + + + 6 3 4 1 4 2 Ответ: f t t t t ( )
cos sin
= + +
- 4 2
52. F p p p p p ( )
. = + + - - 5 3 3 2
12 12 4 16 Ответ: f t ch t t t ( )
cos sin
. = + + 2 2 3 2 2 53. F p p p ( )
( . = - + 3 2 1 2 1)3 Ответ: f t t t ( )
sin . = 1 2 2
54. F p p p ( )
. = - 3 2 3
4 Ответ: f t t t ( )
. = - 1 2 3 2
55. F p p p ( )
( ) . = - - 4 2 3
Ответ: ( ) f t t t e t ( )
. = - 2 2
56. F p p p ( )
. = + - 2 3 1 Ответ: f t e t e t t t ( ) .
cos sin
= + - + æ èç ö ø÷ 1 6 2 3
3 2 3 3 2
57. F p p p p p p ( )
( ) . = + - + + 5 3 5 2 11 3 3 3 Ответ: ( )
e t t t ( )
. = - + - + 2 3 1 2 2 8 6
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|