Сборник задач по операционному исчислению возник на основе опыта
Интегрирование дифференциальных уравнений с переменными
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Pdf көрінісі
|
tfkp-operations
- Бұл бет үшін навигация:
- 11. О функциях с запаздывающим аргументом и их изображениях
10. Интегрирование дифференциальных уравнений с переменными (функциональными) коэффициентами Пример 120. Решить д.у. Бесселя t x x tx ¢¢ + ¢ + = 0 с начальными условиями x( ) , 0
= ¢ =
. 0
Решение. Перейдем к изображениям x t ( )
¬ X p ( ),
¢ x ¬
- 1, ¢¢
¬
p 2 - . Для нахождения изображений tx и tx ¢¢ воспользуемся формулой дифференцирования изображений (формула (23)
пункта 5.11)
¢ F p ( ) ч> - tf p ( ). Тогда
tx ¬ - = - ¢ d d X p X , tx ¢¢ ¬ ( ) - - = -
- ¢ +
d dp p X p pX p X 2 2 2 1 Тогда уравнение в изображениях - - ¢ + + - - ¢ = 2 1 1 0 2 pX p X pX X или
( )
X pX 2 1 0 + ¢ + = . Уравнение с разделяющимися переменными - =
d X d X p p p 2 1 , ( ) - = + - ln ln ln X p C 1 2 1 2 , - = + 1 1 2 X p C ,
X p C p ( )
, = + 2 1
Выберем ветвь корня, для которой 1 1 = .
X p C p p C p p p p C p p p p x t C t t ( )
! ! ! ! ! ( ) ! ! ! ! = + æ è ç ö ø ÷ = - ×
+ × × × - × × × × + æ è ç ö ø ÷ = = - × × + × × × - × × × × + æ è ç ö ø ÷ ¸ñ = = - × × + × × × - 1 1 1 1 2 1 1 3 2 2 1 1 3 5 2 3 1 1 1 2 1
1 1 3
2 2 1 1 3 5 2 3 1 1 1 2 1 2
1 3 2 2 4
2 1 2 2 2 4 3 6 3 2 5 3 7 2 2 4 K K - × ×
× × + æ è ç ö ø ÷ = = = = = - + - + = - = = ¥ å 1 3 5 2 3 6!
1 0 1 1 2 1
2 2 2 3
1 2 3 6 2 2 2 4 2 2 6 6 2 2 2 2 0 0 ! . . ( )
( !) ( !)
( !) ( )
( !) ( )
t C т к x t t t t n I t n n n n K K — так называемая функция Бесселя нулевого порядка.
11. О функциях с запаздывающим аргументом и их изображениях
Как уже было сказано в пункте 2, единичная функция Хевисайда h( ) t может превратить в оригинал любую функцию f(t), ’’ выключая’’ ее значения при t<0 и сохраняя при t>0:
( ) ( )
, ( ),
h =
> ì
î 0 0 0
Имеется большое количество функций f(t– t ) ,которые описывают процессы ,начинающиеся не в t=0 , а с опозданием t >0. С помощью функции Хевисайда
h t t t ( ) , ,
t t - = < > ì í î 0 1
запаздывающую функцию записывают так f t t t f t t ( ) ( ) , ( ), - - = < - > ì í î t h t t t t 0
(40)
заметим, что множитель способен ’’включать’’ или ’’гасить’’ значения некоторых функций. Эта функция удобна для записи как периодических, так и других составных функций. По теореме запаздывания (пункт.5.3) изображения этих оригиналов (40) выражаются формулой f t t e F p где F p f t p ( ) ( ) ( ),
( ) ( )
- - ¬ ® -
t t
(41) Пример 121.Найти изображение периодического с периодом Т прямоугольного импульса f(t) величины А и продолжительностью t . A
t T T +
Решение. Постоянная функция f(t) =А должна быть ’’ погашена’’, начиная с момента t . Это можно записать как
î
ì < < t t < < = t - h × - =
t t A t A A t f , 0 0 , ) ( ) (
Далее с момента t T = опять ’’включаем’’ функцию f t A ( )
= и ’’гасим’’ ее в момент T +
этом случае следует записать как f t A A t A t T ( )
( ) ( ) = -
- + - - h t h t и т. д. Окончательно f t A A t A t T A t T A t T A t T ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = -
- + - - - -
+ - - - - +
h t h h t h h t 2 2 K Изображение [ ]
K + + + - = = + - + - + - = - - t - t + - - t + - - - pT pT p T p T p T p pT pt e e e p A e A p e p A e p A e p A e p A p A p F 2 ) 2 ( 2 ) ( 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Так как e e e pT s iw T ST - - + - < =
( )
1 то, суммируя геометрическую прогрессию в квадратных скобках со знаменателями e q pT - = , получим pT e p e p A p F - - t - - × = 1 1 ) ( . Этот же результат можно было бы получить по формулам (20), (21). Пример 122. Построить график функции f t
( )
( ) (
) = - + - 2 6 11 2 h и найти ее изображение. Решение. Функция f t ( ) описывает некоторый процесс, ’’включаемый’’ с запаздыванием t = 2 . Для того чтобы решить , какой это процесс , нужно функцию представить в форме
[ ] f t t t f t t t t t t t f t t t p p p e p ( )
( ) (
), ( )
( ) (
) ( ) ( ) ( ), ( )
( ) (
) ( ) . = - - = - + - = - - - + - = - - ¬ - + - j h h h j h 2 2 6 11 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 t
2 Пример 123. Найти изображение составной функции f t ( ) , предварительно записав ее с помощью функции Хевисайда одним аналитическим выражением. Функция имеет вид и график. 3
f t t t t t t ( )
, , , , =
£ £ -
> ì í ï ï î ï ï 0 0 3 0
4 9 3 2 4 6 0 6
t 0 4 6 Решение. Функция f t ( ) = 0 при t < 0. В момент t = 0 ’’ включается’’ функция ,равная 3. В момент F = 4 она ’’гасится’’ и ’’ включается’’ функция 9 3 2
В момент t = 6 ’’ гасится’’ эта функция .Эту последовательность действий можно описать формулой f t t t t t t t t t t t t ( )
( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ). = - - + - - - - - = = + - - - - - 3 3 4 9 3 2 4 9 3 2 6 3 6 3 2 4 9 3 2 6 h h h h h h h
Надо организовать сдвиги аргумента t в множителях при функциях Хевисайда: во втором слагаемом надо сделать t - 4 , а в третьем t - 6 : f t t t t t t t t t t ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
). = + - - - é ëê ù ûú - - - - - é ëê ù ûú - = = - - + - - 3 6 3 2 4 6 4 9 3 2 6 9 6 3 3 2 4 3 2 6 6 h h h h h
Изображение F p p p e p e p p ( )
. = - + - - 3 3 2 3 2 2 4 2 6
В следующих задачах, записав с помощью функции Хевисайда одним аналитическим выражением составную функцию f t ( ), найти ее изображение: 124. ï î ï í ì > £ £ £ £ = 3 , 0 3 1 , 1 1 0 , ) ( t t t t t f Ответ: F p p e p e p p ( )
( ) . = - - - - 1 1 1 2 3
125. ï î ï í ì ³ £ £ - £ £ = 2 при
0 2 1 при 2 4 1 0 при 2 ) ( t t t t t t f Ответ: ) 2
( 2 ) ( 2 2 e e p p F p p - - + - = 126.
ï î ï í ì > - £ £ - £ £ = 3 при 2 6 3 2 при
2 5 2 0 при
5 ) ( t t t t t t f Ответ: p p p e p e e p p F 2 2 3 2 2 ) 4 5 ( 1 ) ( - - - - + - =
Построить график функции f(t) и найти её изображение
127.
) 1 ( ) 3 ( ) ( - - - = t t t t f h
Ответ: î í ì > £ £ = 1 , 3 1 0 , ) ( t t t t f
p p e p e p p F - - + - = 2 ) 1 ( 1 ) ( 2
127.
ï î ï í ì > - £ £ - £ £ = 3 , 2 6 3 2 , 2 5 2 0 , 5 ) ( t t t t t t f
p p p e p e e p p F 2 2 3 2 2 ) 4 5 ( 1 ) ( - - - - + - =
128.
) 1 ( 1 ) ( - + = - t e t f t h
Ответ: î í ì > + £ £ = - 1 , 1 1 0 , 1 ) ( t e t t f t
1 1
) ( + × + = - p e e p p F p
129. [ ] ) 3 ( ) 2 ( sin ) ( p h p h - - - =
t t t f
Ответ: ï î ï í ì p ³ p £ £ p p £ = 3 , 0 3 2 , sin 2 , 0 ) (
t t t t f
) (
1 ) ( 3 2 2 p - p - + + = p p e e p p F
130. t t t t t t f p h h h h 2 sin ) 2 3 ( ) 2 1 ( ) 2 3 ( ) 2 1 ( 1 2 ) ( úû ù êë é - - - + úû ù êë é - - - - =
Ответ: ï ï ï î ï ï ï í ì > - £ £ < £ = 2 3 , 2 2 3 2 1 , 2 sin
2 1 0 , 2 ) ( t t t t t f p
) ( 4 2 ) 1 ( 2 ) ( 2 2 3 2 2 3 2
p p p e e p e e p p F - - - - - p + p + - - =
131. ) 3 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 4 5 ( 1 ) ( 2 2 - - + - + - - - = t t t t t t t t f h h
Ответ: ï î ï í ì > -
£ -
- £ £ - = 3 , 3 3 1 , 3 4 1 0 , 1 ) ( 2
t t t t t t t f
) ( 2 ) 3 3 1 ( 1 1 ) ( 3 3 3 2 p p p p e e p e e p p p F - - - - - - - - - =
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|