Сборник задач по операционному исчислению возник на основе опыта
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Pdf көрінісі
|
tfkp-operations
- Бұл бет үшін навигация:
- 9. Применение интеграла Дюамеля к интегрированию дифференциальных уравнений
Решить задачу Коши:
¢ + =
x x e t , ( )
x 0 0 = . Ответ: x sht =
86. ¢ -
= x x 2 0 , ( ) x 0 1 = . Ответ: x e t = 2
¢¢ + ¢ - =
x x e t 2 , ( ) x 0 1 = - , ( ) ¢ = x 0 0 . Ответ: x
= - - - 1 3 7 9 2 9 2
¢¢ + ¢ =
cos ,
( ) x 0 0 = , ( ) ¢ = x 0 0 . Ответ: ( ) x t t t t t = + - 1 4 2 sin
cos sin
89. ( ) ¢¢ - ¢ +
+ =
x x 2 0 2 2
a b , ( ) x 0 0 = , ( ) ¢ = x 0 1.
Ответ: x e t t = 1 b b a sin
¢¢¢ + =
x t 4 3 cos , ( )
( ) x x 0 0 2 = ¢
= . Ответ: x t t t = - + 11 5 2 1 5 3 2 cos cos sin
¢¢¢ - ¢¢ -
- =
x x x 6 11 6 0, ( )
0 = , ( ) ¢ = x 0 1, ( ) ¢¢
x 0 0 Ответ: x e e e t t t = -
+ - 5 2 4 3 2 2 3
¢¢¢ + ¢ =
2 , ( ) ( )
( ) x x x 0 0 0 0 = ¢ = ¢¢ = . Ответ: x
= - +
+ - 1 2 1 10 2 5 1 5 2 cos sin
8 3
¢¢¢ - ¢¢ - ¢ -
= - x x x x e t , ( ) ( ) ( )
x x x 0 0 0 1 = ¢ = ¢¢ = .
Ответ: x e t =
94. ( )
x x t 4 + ¢¢¢ = cos , ( ) ( )
( ) x x x 0 0 0 0 = ¢ = ¢¢ = ,
( ) ¢¢¢
= x 0 2 .
Ответ: x t t e t t t = - + - + - - 2 1 2 3 1 2 1 2 cos sin
95. ( )
x x t 4 2 4 + = , ( ) ( )
( ) ( )
x x x x 0 0 0 0 0 = ¢ = ¢¢
= ¢¢¢ =
Ответ: ( ) x t sht t = - × 1 4 2 sin
96. ( )
x x x t t 5 2 2 + ¢¢¢ + ¢ = + cos , ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) x x x x x 0 0 0 0 0 0 4 = ¢ = ¢¢ = ¢¢¢
= =
Ответ: x t t t t t t = - + - æ èç ö ø÷ + + - æ èç ö ø÷ 2 2 4 4 3 8 3 8 1 8 cos sin
8. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений Метод интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений сходен с методом интегрирования одного уравнения. В результате применения преобразования Лапласа получается система алгебраических уравнений для изображений.
Пример 97. Решить систему д.у. ¢ - - = ¢ + - = ì í î x x y e y x y t a b b b a a 0
При начальных условиях ( )
x 0 0 = , ( ) y 0 1 = . Решение. Переход к уравнениям в изображениях ( )
® , ( ) Y y t ® дает pX X Y p pY X Y - - = - + - = ì í ï îï a b b a b a 1
решение имеет вид ( ) X p = - + 2 2 2 b a b , ( ) ( ) ( ) ( ) Y p p p = - - - - + a b a a b 2 2 2 2
( )
X p x t e t t = - + ® = 2 2 2 2 b a b b a sin
, ( ) ( ) ( ) Y p p p y t e t e t t = - - + - - ® = - 2 1 2 2 2 a a b a b a a cos
. Пример 98. Решить систему д.у. ¢ = + ¢ =
+ + ì í î x x y y x y 2 2 1
при начальных условиях ( ) x 0 0 = , ( ) y 0 5 = . Решение. Переходя к изображениям, получаем pX X Y pY X Y p = + - = + +
ì í ï îï 2 5 2 1 её решение ( )(
X p p p p = + + - 10 2 1 3 , ( )( ) Y p p p p p = - - + - 5 4 1 1 3 2 Разложим на простейшие дроби ( )(
X p p p p A p B p C p = + + - = + + + - 10 2 1 3 1 3 , ( ) ( ) (
) A p p B p p C p p p 2 2 2 2 3 3 10 2 - - +
- + + = +
p A B C p A B C A 2 0 2 3 10 1 3 2 : : : + + = - - + = - = ü ý ï þ ï ,
A B C A B = -
- - = = - - ü ý ï ï þ ï ï 2 3 3 4 10 ,
B C = -
= - = ü ý ï ï þ ï ï 2 3 2 8 3 , X p p p x t e e t t = -
- + + - ® = - - + - 2 3 1 2 1 8 3 3 2 3 2 8 3 3 * ( ) ( )
Аналогично найдем y t e e t t ( )
. = +
+ - 1 3 2 8 3 3
Найти решение следующих систем дифференциальных уравнений
99.
x y y x ' ' = = ì í î 2 2 x y ( )
, ( ) 0 2 0 2 = = . Ответ: x e e t t = - - 5 2 1 2 2 2 , y e e t t = - - 5 2 1 2 2 2 .
100. x x y y x y ' ' = + = - ì í î 3 4 4 3 x y ( )
( ) 0 0 1 = = . Ответ: x e e t t = - - 6 5 1 5 5 5 , y e e t t = + - 3 5 2 5 5 5 .
101. x y y x y ' ' + = - - = ì í î 0 2 2 0 x y ( )
( ) 0 0 1 = = . Ответ: x e t t t = - (cos sin )
2 , y e t t t = + (cos sin )
3
102. x x y e y x y e t t ' ' + + = - + =
ì í î 2 2 10 2 7 2 2 x y ( )
, ( ) 0 1 0 3 = = Ответ: x e t = 2 , y e t = 3
2 .
103. 2 3 0 2 2 x y x x y y e t ' ' '' ' + - = + -
= ì í î x x y ( )
, '( ) , ( )
0 1 0 1 0 0 = - = = Ответ: x e e e t e t t t t t = -
+ - + 1 2 1 4 3 4 23 2 11 4 23 23 2 2 2 2 cos sin
y e e e t e t t t t t = -
- + - 1 2 1 8 5 8 23 2 73 8 23 23 2 2 2 2 cos sin
104.
x y z y x y z x z ' ' ' = -
= + = +
ì í ï îï x y z ( )
, ( ) , ( )
0 1 0 2 0 3 = = = Ответ: x e y e te z e te t t t t t = -
= - + - = - + - 2 2 4 2 5 , , .
Интеграл Дюамеля (формула 18 пункта 5.7) может быть использован при интегрировании дифференциальных уравнений. Выведем формулу для интеграла Дюамеля. Пусть F p f t G p g t ( )
( ), ( ) ( )
® ® . По теореме умножения изображений (формула (17) пункта 5.6) имеем:
G p f g t d t ( ) * ( ) ( ) ( )
- ò
q q 0
(30) По теореме о дифференцировании оригинала (правой части (30)) по формуле пункта 5.10:
( ) ( )
( ) ( ) ® - ò
q q 0
По правилу дифференцирования интеграла по параметру
dt t d b t t db dt a t t da dt d dt t d a b a t b t j q q j j j q q ( , )
( ( ), ) ( ( ), )
( , ) ( )
( ) = - + ò ò (31)
получим
f t g f g t d t t ( ) ( )
( ) ( ) ( ) '(
) ® + - ò 0 0 q q q (32)
Правую часть этой формулы называют интегралом Дюамеля. В силу равноправности функций f и g ее можно записать и так
( ) ( )
( ) ( ) ( ) '(
) ® + - ò 0 0 q q q (33)
Применим интеграл Дюамеля к интегрированию дифференциальных уравнений. Пусть требуется найти решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
a x a x a x f t n n n n ( )
( ) ... ' ( )
+ + +
+ = - - 1 1 1 , (34) удовлетворяющее нулевым (для простоты) начальным условиям
x x n ( )
'( ) ... ( )
( ) 0 0 0 0 1 = = = = -
(35) Наряду с этим уравнением будем рассматривать дифференциальное уравнение с такой же левой частью, но правой частью, равной 1(метод толчков):
a z a z a z n n n n ( )
( ) ... ' + + + + = - - 1 1 1 1 (36) и будем искать его решение, также удовлетворяющее нулевым начальным данным
z z n ( )
'( ) ... ( )
( ) 0 0 0 0 1 = = = = -
(37) Эти дифференциальные уравнения переходят в уравнение в изображениях p X a p X a pX a X F p n n n n + + + + = - - 1 1 1 ...
( ) p Z a p Z a pZ a Z p n n n n + + + + = - - 1 1 1 1 ... Их операторные решения
( )
( ) ( )
, ( ) ( )
= = 1 (38)
где Q p p a p a n n n n ( )
... = + + + - 1 1 . Из них выражаем X p pF p Z p ( )
( ) * ( ) = . Используя формулу (32) X p pF p Z p x t f t Z f Z t d t t ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) '(
) = ® = + - ò 0 0 q q q
(39) Если известно решение z(t) уравнения (36) , то по (39) мы получим решение x(t) в виде квадратур. Пример 105. Найти решение д.у. x
'' + = 5 2 при начальных условиях x x ( )
'( ) 0 0 0 = = Решение. Сначала найдем решение z z '' + = 1, удовлетворяющее условиям z z ( )
'( ) 0 0 0 = = . Его уравнение в изображениях p Z Z p 2 1 + = дает Z p p p p p p ( )
( ) = + = - + 1 1 1 1 2 2 . Следовательно, z t t ( )
cos = -
1 . Для отыскания решения
исходного уравнения применим формулу
(39). Имеем z t t f t t '( ) sin , ( ) = = 5
2 , так что x t t d t t t ( )
sin( ) ( cos ) = - = - +
ò 5 5 2 2 2 2 0 q q q . Замечание. Особенно удобно применять интеграл Дюамеля для интегрирования нескольких дифференциальных уравнений с одинаковыми левыми и различными правыми частями. В этом случае интеграл Дюамеля значительно сокращает объем вычислительной работы. Пример 106. Решить д.у. x
'' - = + 1 1 c начальными условиями x x ( )
( ) ' 0 0 0 = = . Решение. Сначала решим задачу Коши для дифференциального уравнения z z '' - = 1, z z ( )
' 0 0 = = . Его уравнение в изображениях p Z p Z p p 2 1 ( ) ( )
- = , имеет решение Z p p p p p p ( )
( ) = - = - - 1 1 1 1 2 2 . Отсюда z t t ( )
= - ch 1 . по формуле Дюамеля (32) x t e t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e t t t t t t t t t t t t t t t t t ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + - = - + = + - + + = = + - + = -
+ - - + + + = - - +
- - - - - - - - - - ò ò ò ò ò 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q sh d d d d ln d ln d 0 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
t t t t t t t t e e e e e e t e e te ò = - + - - + + = + + - - - - ln ( ) ( ). ln sh ln Q
Применив интеграл Дюамеля, решить дифференциальные уравнения 107. x x t '' ' , + = x x ( )
( ) ' 0 0 0 = = Ответ:
x t t e t = - + - - 1 2 1 2
108. x x e t '''
' , + =
x x ( )
( ) ( )
' '' 0 0 0 0 = = = Ответ: x e t t t = - + - 1 2 1 2 1 2 1 sin cos
109. x x t e t '' ' , - = 2 2 x x ( )
( ) ' 0 0 0 = = Ответ:
x e e t e t t t = +
- - 1 2 2 2 . 110. x x x t '' ' , + + = 2 2 sin x x ( )
( ) . ' 0 0 0 = =
Ответ: x t e e t t t = + - - - - 1 5 1 2 5 1 sin
cos ( ) ( ) . 111. x t '' , = arctg x x ( )
( ) ' 0 0 0 = = Ответ:
x t t t t t = - - + + 1 2 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) . arctg
ln
112. x x t '' , + = + 1 2 cos
x ( )
( ) ' 0 0 0 = = Ответ:
x t t t t t t t = - + + - sin sin arctg tg cos
cos ln cos
4 3 2 3 2 3 ln ( ) . 113. x x t '' , + = + 1 4 2 tg x x ( )
( ) ' 0 0 0 = = Ответ:
x t t t t t t = -
+ - + - 1 3 9 3 27 3 36 3 2 3 2 3 9 3 - cos
sin sin
cos arctg cos
p ln sin ( )
114. ¢¢ + =
x x t cos , x x ( )
( ) 0 0 0 = ¢
= Ответ:
x t t e t = - + - 1 2 ( ) sin cos
115.
¢¢ + = +
x t 1 1 2 cos
, x x ( )
( ) 0 0 0 = ¢
= Ответ:
x t t t t t t = - - - + cos arcth cos cos
sin ln sin
sin ( ) p 4 1 2 2 2 2 116.
¢¢ - = x x t sh ,
x x ( )
( ) 0 0 0 = ¢
= Ответ:
x t t = - 1 2 ( ) ch sh t 117. ¢¢ -
¢ + = x x x t 2 ch , x x ( )
( ) 0 0 0 = ¢
= Ответ:
x t e t t t e t t t = + + - - 1 4 1 2 1 4 1 4 2 sh sh .
118. ¢¢¢ + ¢ = +
1 2 sin , x x x ( )
( ) ( )
0 0 0 0 = ¢
= ¢¢ =
Ответ: x t t t t t t t = - + + + + - æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ln cos cos ln(
sin ) - sin sin
arctg tg 2 2 2 3 2 1 2 2 1 3 6 ( ) p
119. ¢¢ - = x x t th ,
x x ( )
( ) 0 0 0 = ¢
= Ответ: x t t t e t = - + - æ èç ö ø÷ ch sh ch arctg 2 4
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|