Сборник задач по операционному исчислению возник на основе опыта
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Pdf көрінісі
|
tfkp-operations
- Бұл бет үшін навигация:
- 1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу О п р е д е л е н и е 1 .
- 2. Нахождение изображений функций (оригиналов)
| Операционное исчисление и его применение [Старков В.Н. Операционное исчисление и его применения. Учебн. пособ.-СПб, 2000.-65 с.]
Настоящий сборник задач по операционному исчислению возник на основе опыта преподавания раздела по операционному исчислению, входящему в курс лекций по Теории функций комплексного переменного (глава 7), читаемый на факультете прикладной математики–процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Он имеет своей целью дать преподавателю и студенту некоторый минимум теоретического материала по основным вопросам операционного исчисления. Каждый раздел начинается с краткого введения, в котором без доказательства приводятся необходимые формулы и указания. Задачник может служить пособием для лиц, самостоятельно изучающих операционное исчисление. Все задачи снабжены ответами. Приводятся также образцы решения задач и примеров с объяснениями. Сборник может быть использован студентами и аспирантами физико-математических факультетов высших учебных заведений.
1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу 2. Нахождение изображений функций 3. Отыскание оригинала по изображению 3.1. Разложение на простейшие дроби 3.2. Первая теорема разложения 3.3. Вторая теорема разложения 4. Таблица свойств изображений 5. Основные теоремы операционного исчисления 5.1. Свойство линейности 5.2. Теорема подобия 5.3. Теорема запаздывания 5.4. Теорема смещения 5.5. Теорема упреждения 5.6. Теорема умножения изображений 5.7. Интеграл Дюамеля 5.8. Умножение оригиналов 5.9. Изображение периодических оригиналов 5.10. Дифференцирование оригинала 5.11. Дифференцирование изображения 5.12. Интегрирование оригинала 5.13. Интегрирование изображения 6. вычисление несобственных интегралов с помощью преобразования Лапласа 7. Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 8.
Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений 9.
Применение интеграла Дюамеля к интегрированию дифференциальных уравнений 10.
Интегрирование дифференциальных уравнений с переменными (функциональными) коэффициентами 11. О функциях с запаздывающим аргументом и их изображениях 12. Интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих в правой части функцию Хевисайда 13.
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом 14.
Решение интегральных уравнений 15.
Решение нестационарных задач математической физики 16. Индивидуальные задания по теме «Решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом» 17.
Ответы для индивидуальных заданий по теме «Решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом 18. Литература по операционному исчислению 19. Вопросы для собеседования или тестирования Операционное исчисление позволяет решать различные математические задачи: нахождение интегралов, решение обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, уравнений в частных производных и т.п. В основе методов операционного исчисления лежит идея интегральных преобразований (преобразование Лапласа), позволяющих свести
обыкновенные дифференциальные и интегральные уравнения к алгебраическим (операторным) уравнениям, а дифференциальные уравнения в частных производных — к обыкновенным дифференциальным уравнениям. 1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу О п р е д е л е н и е 1 . Будем действительную функцию действительного аргумента f(t) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям: 1.
0 ) ( º t f , при 0
t . 2. t s Me t f 0 ) ( < , при
0 >
, где 0
0 0 ³ > s M — некоторые действительные постоянные, 0
называют показателем роста функции ) (t f . В этом случае говорят, что функция ) (t f возрастает не быстрее показательной функции. 3. На любом конечном отрезке [ ]
b a, положительный полуоси Ot функция ) (t f удовлетворяет условиям Дирихле, т.е. a) ограничена, b) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода, c) имеет конечное число экстремумов. Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемыми по Лапласу или оригиналами.
) (t f называется функция комплексного переменного p = s + i s, определяемая соотношением
ò ¥ - = 0 ) ( ) (
e t f p F pt
(1) Тот факт, что функция ) (t F является изображением оригинала ) (t f , символически это записывается так:
{ } ) ( ) ( t f L p F = или ) ( ) ( t f p F ®
(2) 2. Нахождение изображений функций (оригиналов) Будем искать изображения функций по формуле (1). Пример 1. Найти изображение функций t a t f = ) ( , 0 > t . Решение. Так как a e a ln = , то a t e t f ln ) ( × = . Найдем a p a p e a p t pt a p t dt e dt e t f p F ln 1 0 ln 0 ) ln ( 0 ) ln ( ) ( ) ( - ¥ - ¥ - - ¥ - = - = = = - - ò ò
Пример 2. Найти изображение единичной функции Хевисайда
î í ì
> =
0 при
, 0 0 при , 1 ) (
t t
(3) Решение. По формуле (1) p p e pt pt pt dt e dt e t t 1 0 0 0 ) ( ) ( = = = h ¬ h ¥ - ¥ - ¥ - - ò ò . Замечание. Функция h (t) является простейшей функцией-оригиналом. С ее помощью можно любую функцию, удовлетворяющую только условиям 2 и 3, превращать в оригинал, удовлетворяющий уже всем условиям определения 1. Это делается с помощью выражения:
î í ì
> j
h j 0 при 0 0 при ) ( ) ( ) ( t t t t t
(4) Однако в дальнейшем для простоты записи пишут вместо ) ( ) (
t h j просто ) (t j , считая, что при t<0 эти функции равны нулю. Например, вместо оригинала h(t)sin
просто sin t w , имея в виду, что и эта функция-оригинал. Полученные с помощью формулы (1) изображения некоторых функций сведены в таблицу. Эту таблицу можно поменять. Ее можно использовать для нахождения изображений функций (см. примеры ниже).
Таблица изображений основных функций № F(t) — оригинал (t>0)
F(p) — изображение № F(t) —
оригинал (t>0)
F(р) — изображение 1 1 p 1
10 t e t b a cos
2 2 ) ( b + a - a - p p
2 t n
1 ! +
p n
11 t e t b a sin
2 2 ) ( b + a - b
3
t l
l -
1
t n e t a
1 ) ( + a - b n p
4 Sin t w
2 2 w + w p
13 t t b cos 2 2 2 2 2 ) ( b + b - p p
5 Cos t w
2 2 w + p p
14 t t b sin 2 2 2 ) ( 2 b + b p p
№ F(t) —
оригинал (t>0)
F(p) — изображение № F(t) —
оригинал (t>0)
F(р) — изображение 6
sh w
2 2 w - w
15
t t n w sin 1 2 2 1 ) ( ) Im( ! + + w + w + n n p i p n
7 t ch w
2 2 w - p p
16 t t n w cos 1 2 2 1 ) ( ) Re( ! + + w + b w +
n i p n
8 Sin(t- a ),
>0 1
+ a - p e p
17 t e t t n w a sin
ú û ù w + a - - ê ë é - w - a - + + 1 1 ) ( 1 ) ( 1 2 ! n n i p i p i n
9 Cos(t- a ),
>0 1
+ a - p e p
18 t e t t n w a cos
ú û ù w + a - + + ê ë é w - a - + + 1 1 ) ( 1 ) ( 1 2 ! n n i p i p n
Пример 3. Найти изображение функции f(t)=cos 3
Решение. По Формуле Эйлера cos t= ( )
2 1
it e е - + Тогда сos
3 t= 8 1 (e 3it
+3e it +3e -it +e -3it )=
1 × 2 3 3
it e e - + + 2 4 3 it it e e - + × = 4 1 cos3t+ 4 3
Применив формулу 5 из таблицы, получаем: F(p)= 4 3 9 4 1 2 + + × p p ) 1 )( 9 ( ) 7 ( ) 1 )( 9 ( 27 3 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 + + + = + + + + + × = +
p p p p p p p p p p
Пример 4. Найти изображение функции f(t)=shatsinbt. Решение. Так как sh at= ) ( 2 1
at e e - - , то f(t)= . sin 2 1 sin 2 1
e bt e at at - - Применяя формулу 11 из таблицы пункта 2, получим F(p)= ) ) )(( ) (( 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2
a p b a p pab b a p b b a p b + + + - = + + - + -
Пример 5. Найти изображение функции f(t)=tchbt.
Решение. Так как f(t)= . 2 1 2 1 ) ( 2 bt bt bt bt te te e e t - - + = + По формуле 12 для n=1 имеем: F(p)= . ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 2 2 2 2 2 2 b p b p b p b p - + = + + -
В задачах 6–16 найти изображения функций или по таблице, или непосредственно по формуле(1). 6. f(t)=sin 2 t ответ: F(p)= ) 4 ( 2 2 + p p
7. f(t)=e t cos
2 t ответ: F(p)= ) 5 2 )( 1 ( ) 3 2 ( 2 2 + - - + + p p p p p p
8. f(t)=4t 2– 2t+3 ответ: F(p)= p p p 3 2 8 2 3 + -
9. f(t)= t t 2 cos 4 3 1 3 +
ответ: 4 4 2 2 4 + +
p p
10. f(t)= 5 3 sin 3 1 - t ответ: F(p)= p p 5 9 1 2 - +
11. f(t)=4-5e 2t ответ: F(p)= 2 2
p p p - + 12. f(t)= 1 2
2 3 - + -
e t t ответ: p p p p F 1 4 ) 1 ( 18 ) ( 3 4 - + + = 13.
t sh t t f 2 3 2 sin
2 ) ( + = ответ: 16 8 10 ) ( 4 2 - + = p p p F
14. t ch te e t t f t t 2 4 2 ) ( 2 + + = - ответ: 4 4 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 2 2 3 - + + + - = p p p p p F
15. t t t f 3 sin 2 cos
) ( × = ответ: ÷÷ ø
çç è æ + + + = 25 5 1 1 2 1 ) ( 2 2
p p F
( )
t t t sin
5 sin
2 1 2 cos 3 sin + = × 16.
t t e t f t 2 cos 3 sin
) ( 4 - = ответ: ÷÷ ø ö çç è æ + + + + + = 1 ) 4 ( 1 25 ) 4 ( 5 2 1 ) ( 2 2 p p p F
) sin
5 (sin
2 1 2 cos 3 sin t t t t + = ×
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|