Сборник задач по операционному исчислению возник на основе опыта
Интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих в правой части функцию
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Pdf көрінісі
|
tfkp-operations
- Бұл бет үшін навигация:
- 13. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом
- 14. Решение интегральных уравнений
12. Интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих в правой части функцию Хевисайда Имеется широкий диапазон проблем, описываемых дифференциальными уравнениями, в правой части которых присутствует функция Хевисайда, например, уравнения динамики систем, которые подвержены воздействию сил не непрерывно, а только в некоторые моменты времени. Применяя объяснения предыдущего пункта, можно эти дифференциальные уравнения записать в изображениях. Пример 132. Решить дифференциальные уравнения ) 3
) 2 ( ) ( 4 ) ( 3 ) ( ' " - h + - h = +
t t t x t x , удовлетворяющее условиям 0 ) 0 ( ) 0 ( ' = = x x .
Решение. Перейдем к уравнению в изображениях. p e p p p pX X p 3 2 2 5 1 4 3 - ÷÷ ø ö çç è æ + - = +
Найдем ( ) p p e p p e p p p p p X 3 3 3 2 2 ) 3 ( 1 ) 3 ( 5 ) 3 ( 4 - - + - + - + =
Имеем
( ) ( ) , 9 1 9 1 3 3 9 1 9 1 3 1 3 1 3 . . 2 2 t e t p p p p p - + - ® + + - = +
, 27 1 27 1 9 6 ) 3 ( 27 1 27 1 9 1 3 1 ) 3 ( 1 3 2 . . 2 3 3
e t t p p p p p p - - + - ® + - + - = +
) 3 ( 27 1 27 1 9 3 6 ) 3 ( ) 3 ( 9 1 27 1 9 3 6 ) 3 ( ) 3 ( 9 1 9 1 3 3 5 9 4 3 4 ) ( ) 3 ( 2 ) 3 ( 3 2 ) 3 ( 3 3 . . - úû ù êë é - + - - - - - úû ù êë é - + - - - - - úû ù êë é + - - - - ® - - - - - - - t e t t t e t t t e t e t p X t t t t h h h
) 3 ( 27 1 27 1 9 3 6 ) 3 ( ) 3 ( 2 - úû ù êë é - + - - - - - -
e t t t h
Окончательно
). 3 ( 27 14 27 54 9 5 6 9 4 9 4 3 4 ) ( ) 3 ( 3 2 3 - úû ù êë é + - + - + - = - - -
e t t e t t x t t h
Замечание. Правая часть исходного дифференциального уравнения является разрывной функцией, которую в обычном классическом анализе записывают в виде нескольких аналитических выражений. Операционный метод решения таких уравнений позволяет записать правую часть в виде одного выражения.
Решить дифференциальные уравнения 133. ¢¢-
¢+ = +
- x x x ( ) 2 2 1 1 h t , x( ) x ( )
0 0 0 = ¢ = ответ: x ( e (cos sin )) ( ) ( e (cos( ) sin( ))) (
) = - - + - - - - - - 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1
t t t t t t t h h 134. ¢¢+
= - - x x ( ( ) ( ))
h h t 2
t t , x( ) x ( )
0 0 0 = ¢ = ответ: x sin
( ( ) ( )) = - - 2 2 2 2 a t t t w w h h t
Существуют несколько типов дифференциальных уравнений, когда аргументы функций являются как просто t, так и более сложные выражения. ¢ = - x ( )
( , ( ),x( ( )))
t t x t t t j t —это дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Если
const = t , то имеем дифференциально–разностные уравнения. Наконец, имеется дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом (описывающее процессы с последствием), когда аргумент старшей производной t, а других функций – ( )
-
x ( ) x ( ) ( ) ( ) ( )
n k k k k n t a t f t = - + = - å t 0 1 , (41)
где const a k = , const k = t , 0 £ £ +¥
t . Ради простоты начальные условия выберем нулевые: 0 ) 0 ( x ) 0 ( x ) 0 x( ) 1 ( = = = ¢ = - n L
(42) Считаем, что все функции являются оригиналами и ) (
t x · · ® , F p f t ( )
( ) ® · · . Тогда
( )
( ) e ( )
= + - = - å t 0 1 (43)
X p F p p a p n k k p k n k ( )
( ) e = - - = - å
0 1
(44) Пример 135. Решить дифференциальное уравнение ¢ =
x ( ) x( ) t t 1 1, x( )
0 0 = . Решение. Перейдем к изображениям pX p X p p p ( )
( ) e = + - 1 , X p p p p p p p p p p p p p np n ( )
e e e e e = × - = × - = + + + +
+ æ è ç ö ø ÷ - - - - - 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 K K x( ) ( )
( ) ! ( ) ( ) ( )! ( ) ( ) ( )! ( )
t t t t t n n t n t k k t k n k k = + - - + +
- + - + = - + - + + = ¥ å
h h h 1 2 1 1 1 2 1 1 0 K K . Решить следующие уравнения. 136. ¢¢ - - = x ( ) x(
) t t t 1
x ( ) 0
0 = ¢
= ответ: x( ) ( )
)! ( ) t t k k t k k k = - + - + = ¥ å 2 3 0 2 3
¢¢ - ¢ - = x ( )
x ( )
t t 2 1 , x( ) x ( )
0 0 0 = ¢ = ответ: x( ) ( ) ( )! ( ) t t k k t k k k k = - + - + = ¥ å 2 3 3 0 h
¢¢ =
- + x ( ) x ( ) x(
) t t t 2 1 2 1, x( ) x ( ) 0
0 = ¢
= ответ: x( ) ( )( ) ( )! ( )
k t k k t k k k = + - + - + = ¥ å 1 2 2 0
139.
¢¢ + ¢ - + - = x ( ) x (
) x( )
t t t 2 2 4 , x( )
x ( ) 0 0 0 = ¢
= ответ:
å ¥ = + - + - - = 0 3 ) 2 ( )! 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) x( k k k k t k k t t h
14. Решение интегральных уравнений Пример 140. Решить интегральное уравнение: y yd =
ò t t 1 0 . Решение. Переходим к изображениям, используя формулу интегрирования оригинала (24) пункта 5.1 f( ) d
F( ) q q ¬ ò
p t 0
Имеем: Y( ) Y( )
p p p p = + 1 , Y( )
y( ) e
p t t = - ® = · · 1 1 . Далее будем рассматривать интегральные уравнения Вольтерра с ядрами специального вида:
y( )
f( ) K( ) y( ) d x x x t t t x = + - ò 0 (45)
K( )
- – ядро интегрального уравнения. Пусть F( ) f( ) p x ® · · , L( ) K( ) p x ® · · , Y( ) y( ) p x ® · · . Применим к обеим частям (45) MV преобразование Лапласа и пользуясь формулой свертки (17) пункта 5.6, получим Y( )
F( ) L( ) Y( ) p p p p = + × , Y( )
F( ) L( )
y( ) p p p x = - ® · · 1 . Пример 141. Решить интегральное уравнение: y( ) e d y( ) e q q q t t t t - = - ò 0 . Решение. Левая часть является сверткой функций y( ) t и e t . Переходя к изображениям, получим: Y( ) Y( )
p p p p × - = - - 1 1 1 1 , Y( )
y( ) e p p t t = - ® = · · 1 2 2 . Пример 142. Решить интегральное уравнение: y( ) cos ( ) y( ) d
x x x t t t x = + - ò 0 . Решение. Получим уравнение в изображениях Y( ) Y( )
= + + 1 1 1 2 2 , Y( )
( )( ) p p p p p p p p p p p p = + - = + + - æ è ç ö ø ÷ =
+ + - æ è ç ö ø ÷ = 3 2 2 3 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1
1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 4 1 1 2 2
p p p p p p p p p + + - + + æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷ = × + + ×
- + ×
+
y( ) cos (e e ) cos ch
x x x x x = + + = + - 1 2 1 4 1 2 1 2 . Решить следующие интегральные уравнения: 143. y( )( ) d
t x t t x x - = ò 2 0 3 1 3 . ответ: y( ) x = 1.
144. y( ) cos( ) d
cos t x t t x x - = - ò 0 1 . ответ: y( ) x x = .
145. y( ) ( ) e y( ) d ( ) x x x t t t t x x = + - - -
ò 2 0 2 . ответ: y( ) e x x x x x = -
- + + - 1 16 1 8 3 8 1 16 1 12 2 2 3 .
Аналогично, но несколько проще, решаются интегральные уравнения Вольтерра 1-го рода. ò = - x x f dx t y t x K 0 ) ( ) ( ) (
(46) В этом случае ) (
( ) ( ) ( ) ( ) ( p L p F p Y и t F p Y p L = = Пример 146 . Решить интегральное уравнение ò + = - x x x dt t y t x 0 2 ) ( ) cos(
Решение: В изображениях: p p t Y p p 3 2 2 1 ) ( 1 2 + = + x x x p p p p p p p p p p p p p p p p Y 3 2 4 3 2 4 2 3 4 2 2 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( + + + ¾® ¾ + + + = = + + + = + + = + × + = ×
Решить интегральные уравнения: 147.
x dt t y e x t x = ò - ) ( 0
Ответ: x x y - = 1 ) ( . 148. e x dt t y e x x t x 2 0 ) ( 2 ) ( = ò -
Ответ: e x e x x y x x 2 2 ) ( + = ..
149. x dt t y t x sin
) ( ) cos( = -
Ответ: 1 ) ( = x y . 150. x dt t y x t x e sin
) ( 0 = ò -
Ответ: e x y x - = ) ( . Указанный метод применим к системе интегральных уравнений Вольтерра вида: dt t k t x s k x K jk x f j x j ) ( ) ( 1 0 ) ( ) ( j - å = ò + = j s j , 1 = (47) В изображениях
) ( ) ( ) ( 1 p K p F p k s k jk j j F å + = F =
(48) Получается система линейных уравнений относительно ) ( p j F
Пример 151. Решить систему интегральных уравнений: ï ï î ïï í ì ò ò - - + = ò ò - + + = - - - dt t e dt t t x sh x dt t t x dt t e x x x x t x x x t x ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 2 1 2 0 0 2 1 ) ( 1 j j j j j j
Решение. В изображениях ï ï î ïï í ì F - - F - + = F F + F + + = F ) ( 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 1 1 ) ( 2 1 2 2 2 1 2 1
p p p p p p p p p p p
) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( 2 2 1 + - - + = F
p p p p p , ) 1
) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( 2 2 3 2 + + - + - = F
p p p p p
Разлагая на простейшие дроби, найдем оригиналы x x ch x x x x e x x sin
) (cos
2 1 ) ( cos
2 3 sin 2 1 2 1 1 ) ( 2 1 - + = - + + = j j
152. Решить систему интегральных уравнений ò + ò - = ò - + ò + = - x x t x x x dt t dt t e x dt t t x dt t x x 0 2 1 0 2 0 2 0 1 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
j j j j j
Ответ: 3 1 ) 2 3 cos 2 3 sin 3 ( 3 1 ) ( 2 3 1 - + = x x e x x j
) 2 3 sin 3 1 2 3 (cos ) ( 2 3 2
x e x x - = j
153. Решить систему интегральных уравнений ï ï î ïï í ì ò ò - - - = ò ò - - - = x x x x dt t t x dt t x dt t dt t t x x 0 0 2 1 2 0 0 2 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 2 ) ( j j j j j j
Ответ: ) 1 ( ) ( ) 1 ( 2 ) ( 2 1 x e x x e x x x - = - = - - j j
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|