Сборник задач по операционному исчислению возник на основе опыта



Pdf көрінісі
бет4/9
Дата14.11.2019
өлшемі441,89 Kb.
#51783
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Байланысты:
tfkp-operations


 

 

 

 

 

6. Вычисление несобственных интегралов с помощью преобразования Лапласа 

 

Пусть нужно вычислить интеграл  



j( , )

x t dt

a

b

ò

,  который является интегралом зависящим 



от параметра  

x.

    Обозначим его            



f x

x t dt

a

b

( )


( , )

= ò j


    и пусть        

F p

f x

( )


( ).

®

      



Найдем            

F p

e px

x t dt dx

a

b

( )


(

( , ) )


=

-

¥



ò

ò

0



j

               (26) 

Изменение  порядка  интегрирования  часто  дает  возможность  довести  задачу  до  конца:  найти 

изображение  



F p

( )


интеграла  

f x

( )


, а затем и сам оригинал    

f x

( )


Пример 74. Вычислить  



f x

xt

t

dt

( )


cos

.

=



-

¥

ò



1

2

0



 Его изображение  

F p

e px

xt

t

dt dx

a

b

( )


(

cos


)

=

-



¥

-

ò



ò

0

1



2

 

Изменим порядок интегрирования  



F p

t

e px

tx dx dt

t

p

p

p

t

dt

( )


(

(

cos )



)

=

¥



-

¥

-



=

-

+



¥

ò

ò



æ

èç

ö



ø÷

ò

1



2

0

0



1

1

2



1

2

2



0

 

Здесь  использованы  формулы     



1

1

¬



p

    и   


cos tx

p

p

t

¬

+



2

2

.  Окончательно 



F p

dt

p p

t

p

x

f x

( )


(

)

( )



=

+

¥



=

®

=



ò

2

2



0

2 2


2

p

p



. Итак 

1

2



2

0

-



=

¥

ò



cos

.

xt



t

dt

x

p

 



 

Аналогично можно вычислить следующие интегралы. 

 

75. 


xt

xt

t

dt

t

-

¥



ò

sin


.

3

0



                                                                       Ответ  

px

2

4

 



 

76. 


cos

.

xt



a

t

dt

2

2



0

+

¥



ò

                                                                            Ответ  

p

2a



e

ax

-

 



77. 

sin


(

)

.



xt

t t

dt

4

4



0

+

¥



ò

                                                                          Ответ  

p

8

1



(

cos )


-

-

×



e

x

x

 

78. 



(

) sin


.

1

0



+ -

¥

ò



e xt

xt

t

dt

                                                              Ответ  

3

4

p



 

 

Пример 79. Доказать  



e xt

t

dt

xt

t

dt

-

+



=

+

¥



ò

¥

ò



2

1

1



0

0

sin



 

Решение.  Найдем  изображения  подынтегральных  функций  по  переменной   



x

  и  сравним 

интегралы от них. Имеем     

e

xt

p

t

-

¬



+

1

 .   



I лев

p

p

t

t

p

t

dt

p

p

t

t

p arctgt

=

+



-

+

+



+

=

+



+

-

+



+

×

æ



è

ç

ç



ö

ø

÷



÷

¥

¥



ò

æ

èç



ö

ø÷

1



2

1

2



1

1

1



2

1

1



2

2

1)



0

0

ln(



)

ln(


 

 

I лев



p

p

p

=

+



-

æ

èç



ö

ø÷

1



2

1

2



p

ln

 



Во втором случае имеем    

sin


.

xt

t

p

t

¬

+



2

2

   



I п ав

p

p

t

t

p

t

dt

p

t

t

p

p

p

arctg

t

p

р

ln(



ln(

)

=



+

+

+



-

+

=



+

-

+



+

+

+



×

æ

è



ç

ç

ç



ö

ø

÷



÷

÷

¥



¥

ò

æ



è

ç

ç



ö

ø

÷



÷

1

2



1

2

2



2

1

1



1

2

1



1)

1

2



2

2

2



0

0

 



 

I п ав

p

p

p

р

ln



=

+

-



æ

èç

ö



ø÷

1

2



1

2

p



.   Видим, что левая часть равна правой, равенство доказано. 

 

Пример 80.  Доказать    



te xt

t

dt

xt

t

dt

-

+



=

+

¥



ò

¥

ò



2

1

1



0

0

cos



 

Указание. Сравнить изображения интегралов, имеющих вид  



F p

p

p

p

p

( )


ln

=

×



+

+

+



×

p

2



1

2

1



2

1

 



 

7.  Решение  задачи  Коши  для  обыкновенных  линейных  дифференциальных  уравнений  с 

постоянными коэффициентами 

 

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение 



                                                                                                          

 

x



n

t

a x

n

t

an x t

a nx t

f t

( )


( )

(

( ) . . .



( )

( )


( )

+

-



+ +

- ¢


+

=

1



1)

1

     (27) 



где    

a k

 –действительные числа. 

Требуется  найти  решение  дифференциального  уравнения  (27),  удовлетворяющее  начальным 

условиям 

       

x

x

x

x

x

n

x

n

( )


,

( )


, . . . ,

(

( )



(

0

0



0

0

1)



0

0

1)



=

¢

= ¢



-

=

-



         (28)              

где          



x

x

x

n

0

0



0

1)

,



, . . . ,

(

¢



-

   –заданные числа.       

Будем предполагать, что искомая функция   

x t

( )


  , все ее производные, а также функция   

f t

( )


       

являются оригиналами. Пусть    



x t

X p

f t

F p

( )


( ),

( )


( ).

¬

¬



   По формулам дифференцирования 

оригиналов (22): 

¢

¬

-



¢¢

¬

-



- ¢

x t

pX

x

x t

p X

px

x

( )


,

( )


, . . .

0

2



0

0

                        



 

. . .


(

( )


. . .

(

)



,

( )


( )

. . .


(

x

n

t

p

n

X

p

n

x

x

n

x

n

t

p

n

X

p

n

x

x

n

-

¬



-

-

-



- -

-

¬



-

-

- -



-

1)

1



2

0

0



2

1

0



0

1)

                       



                             

Перейдем от дифференциального уравнения (27) к уравнению в изображениях 



 

(

)



(

)

p



n

X

p

n

x

x

n

a

pn

X

pn

x

x n

a

n

pX

x

a

n

X

F

-

-



- -

-

+



-

-

-



- -

-

+ +



-

-

+



=

1

0



0

1)

1



1

2

0



0

2

1



0

. . .


(

. . .


(

)

. . .



                

Перепишем его так   



Qn p X p

F p

Rn

p

( ) ( )


( )

( )


=

+

-1



, где  

Q

n

p

p

n

a p

n

a

n

p

a

n

( )


. . .

.

,



=

+

-



+ +

-

+



1

1

1



                       

R

n

p

p

n

x

x

n

a

p

n

x

x

n

a

n

x

-

=



-

+ +


-

+

-



+ +

-

+ +



-

1

1



0

0

1)



1

2

0



0

2

1 0



( )

. . .


(

(

. . .



(

)

) . . .



.

.

 



 

Находим так называемое операторное решение уравнения 

 

X p

F p

Rn

p

Qn p

( )


( )

( )


( )

=

+



-1

         (29) 

 

Найдя  оригинал   



x t

( )


    по  его  изображению 

X p

( )


      ,  мы  получим  тем  самым  решение  задачи 

Коши для дифференциального уравнения (27). 

Пример  81.  Найти  решение  дифференциального  уравнения           

¢¢

-



¢

+

=



x t

x t

x t

( )


( )

( )


4

5

0



удовлетворяющее  условиям  



x

x

( )


,

( )


.

0

0



0

1

=



¢

=

 



Решение.  Запишем  уравнение  в  изображениях   

p X

pX

X

X p

p

p

2

1



4

5

0



1

2

4



5

- -


+

=

=



-

+

,



( )

 

или  



X p

p

e

t

t

x t

( )


(

)

sin



( )

=

-



+

®

=



1

2

2



1

2

–искомое решение. 



Пример  82.  Найти  решение  дифференциального  уравнения           

¢¢¢


+

¢

=



x

t

x t

( )


( )

4

1



удовлетворяющее  условиям  



x

x

x

( )


( )

( )


0

0

0



0.

= ¢


= ¢¢

=

 



Решение. Уравнение в изображениях  

p X

pX

p

X p

p

p

3

4



1

1

2



2

4

+



=

=

+



,

( )


(

)

 или иначе 



X p

p

p

t

t

( )


sin

.

=



×

-

×



+

®

-



1

4

1



2

1

4



1

2

4



4

1

8



2

 Итак, решение имеет вид 



x t

t

t

( )


sin

.

=



-

4

1



8

2

 



 

Пример 83.  Найти общий интеграл дифференциального уравнения 

  

¢¢



+

¢

+



=

-

x t



x t

x t

e

t

t

( )


( )

( )


cos

2

10



2

3  


Решение.  Возьмем произвольные начальные условия 

( )


x

c

0

1



= ,  ¢

=

x



c

( )


0

2



 Уравнение в изображениях 

(

)



p x c p c

px

c

x

p

p

2

1



2

1

2



2

2

10



2

1

1



9

-

-



+

-

+



=

+

+



+

Найдем 



(

)

(



)

(

)



(

)

(



)

x p

c

p

p

c

c

p

p

p

( )


=

+

+



+

+

+



+

+

+



+

+

+



1

2

1



2

2

2



2

1

1



9

1

1



9

2

1



1

9

 



®  

(

)



c e

t

c

c e

t

e

t

t

t

t

t

1

1



2

3

1



3

3

2



6

3

-



-

-

+



+

+

cos



sin

sin                    

Ко всем дробям применена теорема смещения (15), дающая множитель  e

t

-

, к последней дроби 



применена теорема умножения изображений (17) (смотри также пример 64). 

Искомое решение 

( )

(

)



x t

e

c

t

t c

c

t

t

=

+



+ +

æ

èç



ö

ø÷

-



1

1

2



3

1

3



3

cos


sin

 


Пример 84. Решить д.у. 

¢¢ -


¢ -

=

x



x

y

e

t

2

3



3

 при условиях 

( )

( )


x

x

0

0



0

= ¢


=  

Решение. Переходим к уравнениям изображениях                       

          

( )


( )

( )


(

)

p X



px

x

pX

x

X

p

2

0



0

2

0



3

1

3



-

- ¢


-

-

-



=

-

 



или  p X

pX

X

p

2

2



3

1

3



-

-

=



-

 , 


( )

(

)(



)

X p

p

p

=

+



-

1

1



3

2

 



разложим дробь на простейшие 

(

)(



) (

) (


)

1

1



3

3

3



1

2

2



p

p

A

p

B

p

C

p

+

-



=

-

+



-

+

+



 , 

(

) (



)(

) (


)

1

1



3

1

3



2

=

+ +



-

+ +


-

A p

B p

p

C p

При p= -1 имеем 1=16C , т.е  С



=

1

16



 

При p=3 имеем 1=4A , т.е  A

=

1

4



 

Сравнивая коэффициенты при  p

2

: B+C=0 , B= –



1

16

 



Итак 

( )


(

)

(



)

(

)



X p

p

p

p

=

-



-

-

+



+

1

4



3

1

16



3

1

16



1

2

 



®  

1

4



1

16

1



16

3

3



te

e

e

t

t

t

-

+



-

 

Решение д.у. 



( )

x t

e

t

e

t

t

=

+



-

æ

èç



ö

ø÷

-



1

16

4



1

16

3



 



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет