Сборник задач по операционному исчислению возник на основе опыта
Решение нестационарных задач математической физики
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Pdf көрінісі
|
tfkp-operations
15. Решение нестационарных задач математической физики
Операционный метод может быть применён для решения нестационарных задач мат. физики. Рассмотрим случай, когда некая функция u(x,t) зависит лишь от пространственной координаты x и времени t. Для уравнения теплопроводности будем решать I краевую задачу:
) , ( 2 2 2 t x f x u a t u + ¶ ¶ = ¶ ¶
= a 2
const
) ( ) 0 , (
x u j =
¾
начальные условия и
l x t t l u t t u £ £ = = 0 , ) ( ) , ( , ) ( ) , 0 ( 2 1 y y
¾ краевые условия. Пусть все функции являются оригинальными. Обозначим dt t x u e x p U pt ) , ( ) , ( 0 ò = ¥ - ¾
изображение по Лапласу. ). , ( ) , ( t x f x p F =® Тогда, dx dU dt e x u x u pt = ò ¶ ¶ ¬ ¶ ¶ - ¥ 0
) ( , 2 2 2 2
pU t u x d U d x u j - ¬ ¶ ¶ ¬ ¶ ¶
). ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 p t p t y y y y ¬ ¬
Тогда краевые условия:
) ( 2 U ) ( 1 0 U
l x p x Y = = Y = =
Уравнение в изображениях:
0 ) F( ) ( U d U 2 d 2 a = + + - x p, x p 2 x j
Пример 154. Концы струны 0 =
,
= закреплены жестко. Начальные отклонения заданы равенством:
. 0 ), sin(
A ) 0 ( l x l x x, u £ £ p =
Начальные скорости равны нулю. Найти отклонения ) ( t x, u при
0 >
.
0 2 2 a 1 2 = ¶ ¶ - ¶ ¶ 2 t u x u
Дано: 0 ) 0 ( ), sin( A ) 0 ( = ¶ ¶ p = 2 t x, u l x x, u
0 ) ( ) 0 ( = = x l, u t, u
В изображениях:
) sin(
2 a A U 2 a 2 d U 2 d
x p p 2 x p - = -
0 U 0 U = = = = l x x . Решение этого уравнения:
) sin( 2 2 a A a e 1 a e 1 ) U( l x 2 l 2 p p x p С x p С p x, p p + + - + = или с учетом краевых условий: ) sin( ) a cos( A ) ( : ) sin( 2 2 a A ) U( l x t l t x, u l x 2 l 2 p p p x, p × p = ® p p + =
-синусоиду по x с амплитудой, зависящей от времени t .
Пример 155. Найти решение уравнения теплопроводности:
2 x u t u ¶ ¶ = ¶ ¶ 2 2 a , удовлетворяющее начальным и граничным условиям:
, 0 , 0 u ) , 0 ( , 0 ) 0 ( > ¥ £ £ = =
x t u x, u
Решение: Запишем операторное уравнение:
0 ) U( 2 a ) , U( 2 = - ¶ ¶ p x, p x p x . Общее решение этого дифференциального уравнения есть: a e 2 C a e 1 C ) U( p x p x p x, + - = . Так как функции ) ( t x, u и
) U( p x, при
¥ ®
является ограниченной, то 0 2 C = .
Используя граничные условия: p x p x 0 u 0 ) , U( = = Находим:
0 1 u C = . Тогда a e 0 u ) , U(
x p p x - = Имеется формула: ÷÷ ø
çç è æ ® -
p p 2 a Erf : a e 1 , тогда: q ò ¥ q - p = ÷÷ ø ö çç è æ = d 2 e 2 0 u 2 a Erf 0 u ) ( t t t x, u
Пример 156: Решить краевую задачу ) 0 , 0 ( , 2 k > > ¶ ¶ = ¶ ¶ t x 2 x u t u , . 0 ) 0 ( , cos a ) , 0 ( = w =
u t t u
Ответ: 2 2 d 0 k sin e a 2k cos
2k e a ) ( w + q q q ò ¥ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ q q - p - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ w - w w - = x t x t x t x, u
16. Индивидуальные задания по теме «Решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом»
Решить дифференциальные уравнения с начальными условиями (задача Коши): Вариант 1. 1.1. ¢¢ +
¢ + =
y y 2 2 0 ,
y B y A ( )
, ( )
0 0 = ¢ =
1.2. ¢¢ -
= y y x 4 4 , y y ( )
, ( )
0 1 0 0 = ¢ =
1.3. y y y x x ( )
sin 4 2 + ¢¢ +
= ,
y y y y ( )
( ) ( )
( ) 0 0 0 0 0 = ¢ = ¢¢
= ¢¢¢ =
Вариант 2. 2.1. ¢¢ -
¢ + =
y y 6 9 0 ,
y A y B ( )
, ( )
0 0 = ¢ =
2.2. ¢¢ +
= y y x 4 8 , y y ( )
, ( )
0 0 0 4 = ¢ =
2.3. ¢¢¢ + ¢ = y y e x 10 2
, y y y ( )
( ) ( )
0 0 0 0 = ¢
= ¢¢ =
Вариант 3. 3.1. ¢¢ - ¢ -
= y y y 6 2 , y y ( )
, ( )
0 1 0 0 = ¢ =
3.2. ¢¢ +
= y y x 4 2 2 cos
, y y ( )
, ( )
0 0 0 4 = ¢ =
3.3. ¢¢¢ - ¢¢ - ¢ + =
y y y y x 4 4 2 8 , y y y ( )
( ) ( )
0 0 0 0 = ¢
= ¢¢ =
Вариант 4. 4.1. ¢¢ -
= - y y x 9 2 , y y ( )
, ( )
0 0 0 1 = ¢ =
4.2. ¢¢ +
= y y x 4 4sin , y y ( )
, ( )
0 4 0 0 = ¢ =
4.3. ¢¢¢ + ¢ = y y 1 , y y y ( )
( ) ( )
0 0 0 0 = ¢
= ¢¢ =
Вариант 5. 5.1. ¢¢ +
¢ + = y y y ex 2 , y y ( )
, ( )
0 0 0 2 = ¢ = -
5.2. ¢¢ +
¢ = y y x x 2 sin , y y ( )
( ) 0 0 0 = ¢
=
5.3. ¢¢¢ - ¢¢ = y y x sin
, y y y ( )
( ) ( )
0 0 0 0 = ¢
= ¢¢ =
Вариант 6. 6.1. ¢¢ -
¢ = y y 3 6 , y y ( )
, ( )
0 1 0 1 = ¢ =
6.2. ¢¢ +
¢ + = y y y x 2 sin , y y ( )
, ( )
0 0 0 1 = ¢ = -
6.3. ¢¢¢ + ¢ = y y x ,
y y y ( )
, ( ) , ( ) 0 0 0 1 0 0 = ¢ = - ¢¢ =
Вариант 7. 7.1. ¢¢ + =
+ y y x x 2 2
, y y ( )
, ( )
0 4 0 2 = ¢ = -
7.2. ¢¢ -
¢ + = y y y ex 2 , y y ( )
, ( )
0 0 0 1 = ¢ =
7.3. ¢¢¢ +
¢¢ + ¢ =
y y y 2 5 0 ,
y y y ( )
, ( ) , ( ) 0 1 0 2 0 0 = - ¢ = ¢¢ =
Вариант 8. 8.1. ¢¢ -
¢ + = y y y 2 4 , y y ( )
, ( )
0 4 0 2 = ¢ =
8.2. ¢¢ + ¢ =
y y x cos
, y y ( )
, ( )
0 2 0 0 = ¢ =
8.3. ¢¢¢ + ¢¢ = y y x ,
y y y ( )
, ( ) , ( ) 0 3 0 1 0 0 = - ¢ = ¢¢ =
Вариант 9. 9.1. ¢¢ -
¢ + =
y y ex 5 6 2 ,
y y ( )
, ( )
0 1 0 1 = ¢ =
9.2. ¢¢ -
¢ + =
y y 2 2 1 ,
y y ( )
( ) 0 0 0 = ¢
=
9.3. ¢¢¢ + ¢¢ = y y x sin
, y y y ( )
( ) , ( ) 0 0 1 0 0 = ¢ = ¢¢ =
10.1. ¢¢ + =
+ y y x x 3 6
, y y ( )
( ) 0 0 0 = ¢
=
10.2. ¢¢ + =
y y x cos
, y y ( )
, ( )
0 1 0 1 = -
¢ =
жүктеу/скачать 441,89 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|