«сызба геометриясы және инженерлік графика»

V,Н, жазықтықтар жүйесінде АВ түзуі горизанталь проекциялаушы болып шықты. Ендеше С, -ден А,В -ге жүргізілген препендикуляр түзудің тік бұрышы өзгермейді, қиылысу нүктесі D. Кері проекциялап D нүктесінің V,Н жазықтықтарындағы проекцияларын табамыз D,D. Сонымен С D түзуі АВ-ға препендикуляр.

Проекция жазықтықтарын алмастырып жалпы жағдайдағы ΔАВС-ның нақты шамасын анықтайық /4 сурет/

1. Қосымша проекция жазықтығын ΔАВС препендикуляр етіп таңдап алу керек. Ол үшін осы жазықтықта жататын деңлеілік түзу жүргіземіз-һ. Һ-н және V жазықтығы һ түзуіне препендикуляр болғандықтан Х осі Һ-қа перпендикуляр салынады.

2. А, В, С, проекцияларынан проекциялық байланыс сызықтары жүргізіледі. V, жазықтығында берілген нүктелердің аппликаталары өзгермейтіндіктен, Х, өсінен бастап сәйкестік проекциялық өлшеп салынады. А,В,С, берілген үшбұрыш жазықтығының қосымша проекция жазықтығындағы кескіні. Сонымен берілген ΔАВС фронталь проекциялаушы болып шықты. ΔАВС- V.

3. Проекция жазықтықтарынан екінші рет алмастырып, берілген үшбұрышқа параллель жағдайға келтіреміз. Яғни Х осін кез келген қашықтықта А,В,С, проекциясына параллель жүргіземіз. Сонда Н, қосымша проекция жазқтықтағы берілген ΔАВС-параллель болып шығады. Енді Х, осіне перпендикуляр проекциялық байланыс сызықтарын жүргіземіз, А, В, С, проекцияларынан Х, осіне дейінгі қашықтықтарды өлшеп алып, Х осінен бастап сәйкесті проекциялық байланы сызықтарының бойына саламыз да нүктелерді таңбалаймыз.

А,В,С, ΔАВС – ның нақты шамасына тең, себебі ΔАВС-Н, бұрыштың нақты шамасын табу. Екі бұрыштың шамасы, жақтарының ортақ қырына перпендикуляр жазықтықпен қиғандағы шығатын сызық бұрышымен өлшенеді. Ендеше проекция жазықтықтарын алмастырып отырып, екі жақты бұрыштың ортақ қыры бір проекция жазықтығына перпендикуляр болатындай жағдайға келтіруіміз керек (4 сурет).

Сонда екі жақты бұрыштың проекциясы қиылысушы түзулер болып шығады. Осы түзулердің арасындағы бұрыш екі жақты бұрыштың шамасын көрсететін сызықтық бұрыш.

Жазық параллель орын ауыстыру. Кеңістікте жалпы жағдайдағы АВ кесіндісін алып, оның ұштарынан ойша Н жазықтығына параллель горизанталь жазықтықтар жүргізейік. (5,а сурет). Кесіндінің ұштары осы жазықтықтардың бетінде. Горизанталь жазықтықтардың арасымен кесіндіні жылжытып отырып V жазықтығына параллель жағдайға келтірейік. Фигураларды бұлай етіп қозғалысқа келтіру бізге геометрия пәнінен таныс. Оларды орын ауыстырып, фронталь түзу болып шықты. Кесінді ұштарының қозғалу троекториясы горизанталь проекция жазықтығына параллель болғандықтан, қозғалу кезінде А,В нүктелерінің аппликатарының шамасы өзгермейді.

Эпюрде кесіндінің горизонталь проекциясының шамасы өзгеріссіз Х осіне параллель болып орын ауыстырады /5,ә сурет/.

Проекциялау аппаратын өзгеріссіз орнында қалдырып, берілген фигураның орнын ауыстырып қажетті жағдайға келтірдік. Бұл әдісті жазық – параллель орын ауыстыру әдісі деп атайды.

Фигураларды бұлай етіп қозғалысқа келтіру бізге геометрия пәнінен таныс. Оларды орын ауыстырып, фронталь түзу болып шықты. Кесінді ұштарының қозғалу троекториясы горизанталь проекция жазықтығына параллель болғандықтан, қозғалу кезінде А,В нүктелерінің аппликатарының шамасы өзгермейді.

5 сурет
1-мысал. Жазық параллель орын ауыстыру әдісімен ЕҒ түзуін профиль проекциялаушы жағдайға келтіру керек (6 сурет).

6 сурет
Шешуі: 1. Берілген түзуді горизонталь жағдайға келтірейік. Ол үшін Х осінен кез келген қашықтықта оған параллель Е"Ғ"=Е"Ғ" проекциясын сала­мыз.Түзу жазық-параллель орын ауыстырылып жаңа жағдайға келтірілді. Оның қозғалу траекториясының горизонталь проекциясы х осіне параллель болады. Себебі кесіндінің ұштары фронталь жазықтық бойымен жылжиды. Сондықтан Е' және Ғ' проекцияларының Х осіне параллель түзулер жүргізіледі. Бұл түзулердің Е_ІҒ_І проекциясынан жүргізілген вертикаль проекциялық байланыс сызықтарымен қиылысуы E_I'F_I'. Е_ІҒ. түзуі горизонталь болып шықты.

2.Горизонталь түзуді профиль проекциялаушы жағдайға келтірейік. Жазық параллель орын ауыстыру кезінде бұл түзу горизонталь жазықтықтың бетімен қозғалады. Түзудің қозғалу траекториясының фронталь проекциясы Х осіне параллель түзу болады. E_I'F_I' проекциясының ұзындығын өлшеп алып Х осіне параллель етіп жаңа жағдайға келтіреміз де Е₂' Ғ₂' деп таңбалаймыз. Бұл нүктелерден вертикаль проекциялық байланыс сызығын жүргізіп Е₂"Ғ₂" проекциясын табамыз. Берілген ЕҒ түзуі профиль проекциялаушы болып шықты. Жазық-параллель орын ауыстыру әдісімен жалпы жағдайдағы түзуді проекциялаушы түзуге түрлендіру үшін, бірінші, түзуді деңгейлік етіп орын ауыстырамыз, яғни бір проекция жазықтығына параллель жағдайға келтіреміз. Сонда табылған проекция кесіндінің нақты шамасын анықтайды. Бұл кесіндінің әрі қарай түрлендірге мүмкіндік береді. Кесіндінің нақты шамасын анықтайтын проекциясын Х осіне параллель етіп орын ауыстырамыз. Проекцияларды тауып таңбалаймыз. Жазық-параллель орын ауыстыру кезінде проекция жазықтықтары қалады да, түзу жазық- параллель жылжып орнын өзгертеді.

2-мысал. Жазық-параллель орын ауыстырып ∆ABC-ның нақты шамасын табу /7 сурет/.

7 сурет

2. Берілген фигураның жазық-параллель орын ауыстыру кезіндегі қозғалу траекториясының фронталь проекциялары Х осіне параллель түзулер. А",В'''С'' нүктелерінен Х осіне параллель түзулер жүргіземіз. А_І',В_І"С_І' нүктелерінен проекциялық байланыс сызықтарын жүргізіп сәйкесті түзулердің қиылысуынан А_І"В_І"С_І" проекциясы табылады. ∆ABC фронталь проекциялаушы болып шықты.

3. А″_І "В_l "С_І" проекциясын жазық-параллель орын ауыстырып Н жазықтығына параллель етіп қоямыз - А₂"В₂"С₂". Екінші рет орын ауыстыру кезіндегі үшбұрыштың төбелерінің қозғалу траекториялары фронталь сызықтар. Ендеше олардың горизонталь проекциялары Х осіне параллель түзулер. А_l',В_l"С_l' нүктелерінен Х осіне параллель түзулер жүргіземіз. А₂"В₂"С₂" проекциясынан проекциялық байланыс сызықтарын жүргізіп сәйкесті түзулердің қиылысуынан А₂' В₂' С₂' проекциясын табамыз. А₂' В₂' С₂' берілген үшбұрыштың нақты шамасын анықтайды.

Негізгі әдебиеттер – 1.7.4. (8-95)

Қосымша әдебиеттер 1.7.5. (9-26), 1.7.20
№ 2 лекция тақырыбы: «Көпжақтар және көпжақтарды кескіндеу».

№ 2 лекция тезисі:

Көпжақтарды сызбада кескіндеу. Техника мен тұрмыста кездесетін бөлшектер, бұйымдар пішіндері жағынан геометриялық денелер немесе геометриялық фигуралардың жиынынан тұрады. 1 суретте винт, шпонка, майлау тетігі және құрылыс бөлшектері кескінделген.

Бұл бұйымдардың пішініне назар аударсақ, олардың геометриялық денелер болатын элементтерін көруге болады. Көпшілік жағдайда геометриялық денелердің жазықтықпен қиылысуы нәтижесінде пайда болған фигуралар кескінделеді.

Жазық көпбұрыштармен шектелген геометриялық денені көпжақтар деп атайды. Егер көпжақтың барлық төбелері кез келген жағы арқылы жүргізілген жазықтықтың бір жағында орналасса, онда оны дөңес көпжақ деп атайды. Барлық жақтары өзара тең және бірдей көпбұрыштар болатын көпжақтарды дұрыс көпжақтар деп атайды.

1 сурет

Тетраэдр, октаэдр және икосаэдрдың әрбір жағы тең кабырғалы ұшбүрыштар. Гексаэдр шаршылардан (квадрат) құрылады. Додекаэдрдің бір жағы дұрыс дөңес бесбұрыш. Көпжақтардың проекцияларын салу үшін олардың нүктелер, қырларын түзу кесінділері және жақтарын жазықтық қиындылары деп қарастырады.

Көпжақты беттер – призма мен пирамида. Көпжақты беттердің сипаттамасы мен көпжақты беттердің құрамын сипаттау – төбе, қыр, жақ. Платондық дұрыс көпжақты денелер – текше (куб), тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Жартылай дұрыс архимедтік көпжақтық денелер.

Дөңес және дөңес-сайлы көпжақтар. Жұлдыздар, призмалар және пирамидалар.

Сызықтық беттер – жасаушы түзу сызықтың екі немесе үш бағыттаушы сызық бойымен қозғалу нәтижесі ретінде. Параллелизм жазықтығы бар беттер – Каталан беттері – «қисық жазықтық» (гиперболалық параболоид, коноид, цилиндроид).

Сызықтық емес беттер – орны бойынша ғана өзгеріп қоймай, пішіні мен өлшемі бойынша өзгеруін қарастыратын қисық сызықты жасаушының белгілі заңдылық бойынша қозғалуымен жасалған қаңқалы беттер.
Жалпы түрдегі айналу беттері. Беттер қаңқасының сипаттамасы – параллельдер, меридиандар, экватор, мойын. Екінші реттік айналу беттері – цилиндр, конус, сфера, сығылған және созылған эллипсоид, параболоид, бірқуысты гиперболоид, екіқуысты гиперболоид.

Винттік беттер – Архимед геликоиды (цилиндрлік винттік бет), конустық винттік бет, винттік беттердің ортогональдық проекциялары.

Айналу беттері. Жасаушыны (түзу немесе қисық сызықты) тұрақты осьтен айналдырғандағы қозғалыс траекториясынан пайда болатын беттерді айналу беттері деп атайды.

Жасаушының әрбір нүктесі центрі осьте болатын шеңбер сызады. Бұл шеңберлер параллельдер деп аталады (l сурет), ең үлкен параллель экватор, ал ең кіші параллель мойын. Айналу осі арқылы өтетін жазықтықтың айналу бетімен қиылысу сызығы меридиан болады. Ось арқылы өткен қиюшы жазықтық деңгейлік болғанда, айналу бетімен қиылысуының проекциясы басты меридиан болып шығады.

Айналу беттері, өздерін құрайтын геометриялық фигуралардың проекцияларымен бір мәнді анықталатындай болу керек. Сондықтан көпшілік жағдайда айналу денелерін олардың осьтерінің проекцияларымен, басты меридианы және экваторы арқылы кескіндейді. Бір проекцияда басты меридианды, ал екіншісінде экваторды көрсетеді.

Проекциялаушы түзулер айналу денесінің кенер сызығы арқылы өтіп, денені қаусыра орап өтетін проекциялаушы бет құрайды. Бұл проекциялаушы беттің проекция жазықтығымен қиылысуынан әлпет шығатынын білетінбіз.

1 сурет
Бұранда беттер. Бағыттаушысы бұранда сызық болатын беттер бұранда беттер деп аталады. Жасаушыларының пішініне қарай бұранда беттер екіге бөлінеді. Егер жасаушысы түзу болса, онда бұранда бет түзу сызықты деп аталады. Ал жасаушысы қисық сызық болса, қисық сызықты бұранда бет деп аталады.

Сызық фронталь проекция жазықтығына параллель болып шықты, яғни жазық қисық сызық алынады. Келесіде кез келген түзу алып, оның бойына фронталь проекциядағы А_І "Б_І "С_І" көршілес нүктелердің ара қашықтығын рет ретімен тізбектей салып А_оС_о ұзындығын анықтаймыз. Бұл кеңістік қисық сызықтың ұзындығының жуық мөлшері.

Кеңістіктік қисық сызықтардың ішінде жиі колданылатыны бұранда сызықтар.

Негізгі әдебиеттер – 1.7.4. (8-95)

Қосымша әдебиеттер 1.7.5. (9-26), 1.7.20
№ 3 лекция тақырыбы: «Беттердің қиылысу сызықтары. Беттердің түзумен, жазықтықпен қиылысуы. Беттердің өзара қиылысуы».

№ 3 лекция тезисі.

Денелерді жазықтықпен қиып өткенде, қиюшы жазықтықта қима фигурасы (қима) пайда болады. Призманың, пирамиданың жақтары жазықтықпен түзу сызық бойымен қиылысатын болғандықтан, қима фигурасы көпбұрышпен шектеледі. Көпбұрыштың төбелері көпжақтар қырларының жазықтықпен қиылысу нүктелері.

Эпюрде қима фигурасын салу үшін, осы нүктелердің проекцияларын тапса жеткілікті. Цилиндрді айналу осіне параллель жазықтықпен қиғанда қима фигурасы төртбұрыш болады.

Жазықтық цилиндрді жасаушысының бойымен қиып өтеді. Егер жазықтық айналу осіне перпендикуляр болса, цилиндр бетін шеңбер бойымен қияды.

Қиюшы жазықтық оське көлбеу орналасса, қима фигурасында эллипс шығады.

Геометриялық дене беттерінің түзумен қиылысу нүктелері көмекші дербес жағдайдағы жазықтықтар қолдану арқылы табылады.

Қиылысу сызығының берілген түзумен ортақ нүктелері бетке тиісті, яғни түзудің геометриялық денелердің бетімен қиылысу нүктелері.

Айналу беттерімен көпжақтардың өзара қиылысу сызықтарын табу үшін қиюшы жазықтықтар әдісін қолданады. Ол үшін горизонталь проекция жазықтығына параллель деңгейлік жазықтықтар алынады. Қиылысу сызығын анықтайтын бірнеше нүкте проекцияларын тапса жеткілікті.

Негізгі әдебиеттер – 1.8.1 (26-33)

Қосымша әдебиеттер 1.4.7 (21-27)

Жақтық беттердің жазбалары деп, оның барлық жақтық беттерін жазықтықпен беттестіру арқылы алынған жазық фигураны айтады. Көпжақтардың жазбаларын тұрғызу үшін оның жақтарының нақты өлшемдерін анықтау қажет. Кез-келген жақты оны үшбұрыштарға жіктеп алу жолымен тұрғызуға болады. Жақтық беттердің жазбаларын тұрғызуды нормальдық қима, домалата жазу, үшбұрыштар әдісі (триангуляция) әдістері арқылы орындауға болады.

Призмалық және цилиндрлік беттердің жазбалары. Көптеген бұйымдар мен бөлшектер жазық заттан иіп немесе майыстыру арқылы жасалады. Оларды жасау үшін әуелі үлгілері жазықтыққа салынады, яғни жазбалары жасалады. Жазбаларды жасай білу өте маңызды, себебі олар халық шаруашылығының көптеген салаларында қолданылады.

Геометриялық беттердің барлық бөліктерін жыртпай және қыртыссыз бір жазықтыққа беттестіру беттердің жазбаларын жасау деп аталады. Беттің жазбасын жасаған уақытта сол бетте жататын сызықтардың, сызықтардың араларындағы бұрыштардың шамалары, фигуралардың аудандары өзгеріссіз қалады. Тік призма мен цилиндр беттерінің жазбаларын жасау оңай.

1 сурет 2 сурет

Көлбеу призма мен цилиндрлердің жазбаларын салу үшін көмекші тәсілдер қолданылады. Көлбеу призманың жазбасын жасау, оның жақтарының нақты шамаларын табу арқылы орындалады. Үшбұрышты көлбеу призма берілген /3 сурет/.

Призма бетінің жазбасын салу керек. Призманы оның бүйір қырларына перпендикуляр жазықтықпен қиямыз. Сонда қима фигурасында АВС үш бұрышы шығады. ∆АВС қимасының қабырғаларының ұзындықтарын анықтаймыз. Ол үшін тікбұрышты үшбұрыш әдісін қолданамыз. Кез келген