Сызықтық алгебра
жүктеу/скачать 17 Kb.
|
Сызықтық алгебра
- Бұл бет үшін навигация:
- Сызықтық алгебра
|
Сызықтық алгебра-сызықтық сипаттағы объектілерді зерттейтін алгебраның бөлімі: векторлық (немесе сызықтық) кеңістіктер, сызықтық карталар [⇨], сызықтық теңдеулер жүйелері [⇨], сызықтық алгебрада қолданылатын негізгі құралдардың қатарына — детерминанттар, матрицалар[⇨], конъюгация. Инварианттар теориясы және тензорлық есептеу әдетте (жалпы немесе ішінара) сызықтық алгебраның құрамдас бөліктері болып саналады [1]. Квадраттық және екі сызықты формалар сияқты объектілер [⇨], тензорлар [⇨] және тензор көбейтіндісі ретіндегі операциялар сызықтық кеңістіктерді зерттеуден тікелей шығады, бірақ полилинарлы алгебраға қатысты. Сызықтық алгебра жалпы алгебра құралдарымен жалпыланған, атап айтқанда сызықтық (векторлық) кеңістіктің қазіргі анықтамасы[⇨] тек дерексіз құрылымдарға сүйенеді, ал сызықтық алгебраның көптеген нәтижелері сақинаның үстіндегі ерікті модульдерге жалпыланған. Сонымен қатар, сызықтық алгебра әдістері жалпы алгебраның басқа бөлімдерінде кеңінен қолданылады, атап айтқанда, абстрактілі құрылымдарды сызықтық құрылымдарға азайту және оларды сызықтық алгебраның салыстырмалы түрде қарапайым және жақсы зерттелген құралдарымен зерттеу сияқты әдіс жиі қолданылады, мысалы, ол топтарды ұсыну теориясында жүзеге асырылады[⇨]. Функционалды талдау Математикалық талдау әдістері мен сызықтық алгебраны шексіз өлшемді сызықтық кеңістіктерге қолдану ретінде пайда болды және көбінесе сызықтық алгебра әдістеріне және одан әрі жалпылауға негізделген. Сондай-ақ, сызықтық алгебра көптеген қосымшаларда (соның ішінде сызықтық бағдарламалауда [[], эконометрикада [⇨]) және жаратылыстану ғылымдарында (мысалы, кванттық механикада [⇨]) кеңінен қолданылды. Сызықтық алгебра – алгебраның есептердің сандық шешімдерін математикалық бейнелеу және зерттеу процестеріне арналған маңызды бөлімі. Сызықтық алгебраның негізгі есептерінің екеуінің мәні ерекше зор: сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімі және матрицаның меншікті мәні мен меншікті векторларын анықтау. Басқа да жиі кездесетін есептері: кері матрицаны табу, анықтауышты есептеу, алгебралық көпмүшеліктің түбірін табу. Сызықтық теңдеулер теориясы – сызықтық алгебраның ең алғашқы саласы. Бұл теорияның дамуы нәтижесінде анықтауыштар теориясы, одан кейін матрицалар теориясы және бұған байланысты векторлық кеңістіктер мен сызықтық түрлендірулер теориясы жасалды. Сызықтық алгебраға, сондай-ақ формалар теориясы, оның ішінде квадраттық формалар және ішінара инварианттар теориясы мен тензорлық есептеулер де енеді. Алгебралық құрылымдар: топтар Топ деп аталады ақырлы немесе шексіз жиын (көбінесе сандар), онда: 1) топтан шықпай-ақ орындауға болатын операция (мысалы, көбейту) анықталды; 2) жиынтық элементтер үшін (ассоциативті) заң орындалады (кез келген a, b, c үшін теңдік(ab)c = a (bc) дұрыс). 3) e бірлік элементі деп аталады; 4) осы жиынның әрбір А элементі үшін бір ғана болатын кері элемент бар. Егер топта орын ауыстыру (коммутативті) Заңы орындалса (кез-келген a және b үшін ab = ba теңдігі дұрыс болса), онда мұндай топ коммутативті немесе Абель тобы деп аталады. Көбейту операциясы анықталған топ мультипликативті топ деп аталады. Егер топтың жұмысы қосу болса, онда топ аддитивті деп аталады. Бұл жағдайда z элементі бірлік элементі ретінде пайда болады, ал әрбір А элементі үшін (- a) + A = a + (- a) = Z орындалатын жалғыз қарама - қарсы элемент (- a) болады. Натурал сандар N көбейтуге қатысты топ құрайды. Натурал сандар жиынындағы топ операциясы ретінде қосу мүмкін емес, өйткені нөл N жиынынан тыс, оң нақты сандар жиыны көбейтуге қатысты топ, ал барлық нақты сандар жиыны R - қосуға қатысты топ болып табылады (бұл жиынға нөлге кері санды енгізу мүмкін емес). Алгебралық құрылымдар: сақиналар Күрделі сандар, нақты сандар, рационал сандар және бүтін сандар жиындарының ортақ ерекшелігі бар: олар жиынның шекарасында қалып, қосу, көбейту және азайту операцияларын орындай алады. Оның кез-келген екі санының қосындысын, көбейтіндісін және айырмашылығын қамтитын сандардың әрбір жиынтығы сақина деп аталады. Сақина, мысалы, жұп сандарды құрайды. Өз кезегінде тақ сандар сақина жасамайды, өйткені тақ сандардың қосындысы жұп сан. Сонымен қатар, ешқандай оң сандар жүйесі сақина болмайды, өйткені егер a және b екі түрлі оң сандар болса, онда a - b немесе b-a теріс болады. Сақина болмайды және теріс сандар жүйесі болмайды, кем дегенде екі теріс санның көбейтіндісі оң болғандықтан. Алгебралық құрылымдар: өрістер Сандық сақина сандық өріс деп аталады, егер оның кез-келген екі санының көбейтіндісі болса (бөлгіш нөлден өзгеше деп есептеледі). Сондықтан рационал сандар өрісі, нақты сандар өрісі, күрделі сандар өрісі туралы айтуға болады, ал бүтін сандар сақинасы өріс емес. Өрісті келесідей анықтауға болады. Егер бұл жиынтықта кем дегенде екі элемент болса және олар үшін жиын өріс деп аталады 1) қосу операциясы анықталды; 1') көбейту операциясы анықталды; 2) қосу үшін комбинациялық (ассоциативті) заң орындалады; 2') көбейту үшін комбинациялық (ассоциативті) заң орындалады; 3) қосу үшін ауыстыру (коммутативті) Заңы орындалады; 3') көбейту үшін орын ауыстыру (коммутативті) Заңы орындалады; 4) азайту операциясы орындалады; 4') нөлге бөлуден басқа бөлу операциясы орындалады. A және b өрісінің кез-келген элементтері үшін A + x = b болатын x элементі бар. А және В өрістерінің кез-келген элементтері үшін y элементі бар, Егер a ≠ 0 болса, a * y = b болады. Өріс үшін үлестіру (тарату) көбейту Заңы (қосуға қатысты): (A + b)c = ac + bc. Алгебралық құрылымдар көбінесе "алгебралар"деп аталады. Олар дерексіз модельдеуде қолданылады. Атап айтқанда, олар бағдарламалауда қолданылуы мүмкін. Мысалы, қандай да бір құрылымның қасиеттері мен ережелерін анықтап, осы құрылымға (қосу) сол құрылымның қасиеттері мен ережелерін бұзатын элементті қосуға тыйым салу қажет болғанда. жүктеу/скачать 17 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|