Следовательно
жүктеу/скачать 253,99 Kb.
|
типовой дифуры 22в
- Бұл бет үшін навигация:
- Ответ: . 5.
- Ответ: . 6.
| Ответ: .
4. . Найдём частные производные: , . Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(x,y), так что и . Проинтегрируем второе уравнение по y: . Таким образом, , где φ(x) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь первым уравнением. С одной стороны . С другой стороны, . Приравнивая эти выражения, получим: . Отсюда, . Согласно уравнению, dU=0. Решением уравнения будет U(x,y)=C. В данном случае . Ответ: . 5. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует искомая функция y. Сделаем замену . Тогда . Получим линейное уравнение первого порядка: . Решим его методом Бернулли: . Функцию U найдём из уравнения . Или . Функцию V найдём из уравнения . Подставляя сюда функцию U, получим: . Таким образом, . Определим постоянную C1, пользуясь начальным условием : . Следовательно, . Тогда . Определим C2, пользуясь вторым начальным условием : . Окончательно, . Ответ: . 6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной х: . Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(х) и С2(х) определяются системой уравнений: , где f(x) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: . Решим систему методом Крамера: . Интегрируя, получаем: . Следовательно, решением неоднородного уравнения будет . Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С1=С3 и С2=С4. Окончательно, . жүктеу/скачать 253,99 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|