«Стереометриядағы жаңа оқыту технологиялары»

a

в

с

4-сурет
Теорема 4.Егер түзу жазықтық бойындағы қиылысушы екі түзуге перпендикуляр болса, онда бұл түзу осы жазықтыққа перпендикуляр болады (5-сурет, a⊥ b, a ⊥ c, b, c⊂, bc=0 ⇒ a).

5-сурет

Центрлік проекция, қасиеттері.

Орталық проекция және оның қаситеттері.

Проекциялаудың төрт түрі бар: орталық, параллель, аксонометриялық және тікбұрыштап проекциялау. Егер нәрсенің кескінін салуға көмектесетін проекциялаушы сәулелер бір нүктеден шықса, мұндай проекция орталық проекциялау деп аталады. Орталық проекциялаудың қасиеттері:

1. нүктенің проекциясы нүкте болады;

2. түзудің проекциясы түзу болады;

3. фигуралардың өзара тиесілі проекциялау кезінде бұзылмайды.

Практикада жиі қолданылатын орталық проекциялаудың түрінің бірі параллель проекциялау.

Егер проекциялаушы сәулелер өзара параллель болса, параллель проекциялау деп атайды. Параллель проекциялаудың екі түрі бар: қиғашбұрыштап проекциялау және тікбұрыштап проекциялау.

Проекциялаушы сәулелер проекция жазықтығына перпендикуляр болса, проекциялауды тікбұрыштап проекциялау дейді.

Параллель проекциялау кезінде қандай қасиеттер сақталатындығына тоқталайық:

1-қасиет. Нүктенің проекциясы да нүкте болады.

2-қасиет. Проекциялау бағытына параллель емес түзудің проекциясы да түзу болады. Проекциялау бағытына параллель түзу нүктеге проекцияланады.

3-қасиет. Түзудің бойында жатқан нүктенің проекциясы сол түзудің проекциясы бойында жатады.

4-қасиет. Параллель түзулер параллель түзулерге проекцияланады.

5-қасиет. Параллель түзулердің немесе бір түзудің бойынан алынған кесінділердің қатынасы параллель проекциялау нәтижесінде өзгермейді.

Негізгі геометриялық түсініктердің бірі жиынды бейнелеу болып табылады. Сызба геометрияда үш өлшемді кеңістіктің әрбір нүктесіне екі өлшемді кеңістіктің жазықтықтағы анықталған нүкте сәйкестендіріледі. Геометриялық бейнелеу элементтеріне: нүктелер, сызықтар, кеңістік беттері жатады. Геометриялық объект нүктелік жиын ретінде бейнеленіп проекциялау заңдылығы бойынша жазықтыққа проекцияланады. Осындай бейнелеудің нәтижесі ретінде объектінің көрінісі алынады.

Кез-келген көріністің негізіне келесі түсінікті қамтитын проекциялау операцияларын жатқызуға болады. Кеңістікте проекциялау центрі болатын және проекциялар жазықтығы ретінде S нүктесі арқылы Пi жазықтығына А нүктесін проекциялау үшін Аi нүктесінде Пi жазықтығымен қиылысатын S проекциялау центрі бойынша SА сәулесін жүргіземіз. Аi.нүктесін А нүктесінің центрлік проекциясы, ал SА сәулесін проекциялаушы сәуле деп атайды.

Түсіндірілген сызба кеңістік нүктелерінің жазықтыққа орталық проекциялауы деп аталады. Евклид кеңістігінде орталық проекциялары жоқ нүктелер бар және керісінше Пi жазықтығында кеңістікте түп нұсқалары жоқ нүктелер бар (D және F нүктелері).

m түзуінің F нүктесі S проекциялау центрі арқылы өтетін Ω жазықтығында жатыр, Ω \\ Пi проекциялар жазықтығына параллель орналасқан, SF проекциялаушы сәулесі проекция жазықтығына параллель, ал F нүктесі Ω жазықтығында жатқан басқа нүктелер сияқты Пi орталық проекциялары жоқ.

Di нүктесі mi түзуінің проекциясы mi түзуінде орналасқанымен m түзуінде түпнұсқасы жоқ, SDi проекциялаушы сәулесі m түзуіне паралель болғандықтан.

n қисығының барлық нүктелері арқылы өткен проекциялаушы сәулелер N проекциялаушы конустық бет құрайды. Қисық сызықты фигураның проекциясы N проекциялаушы бет пен Пi. проекциялар жазықтығының қиылысу түзуін береді.

Өз кезегінде параллель проекциялар түзу бұрышты, проекциялаушы түзулер проекциялар жазықтығына перпендикуляр болған жағдайда және қисық бұрышты проекциялау бағыты проекциялар жазықтығымен бірге 900 қа тең емес бұрыш құраған жағдайда.

Сол себепті ортогональды (тікбұрышты) проекциялау параллель проекциялаудың жеке жағдайы болып табылады және осы әдіспен алынған объектінің проекциясы ортогональды деп аталады. Сызба геометриясында проекциялық көріністерге келесі негізгі талаптар қойылады:

1. Қайтымдылық – проекциялық көріністерге байланысты сызбаның түпнұсқасын тұрғызу;

2. Көрініс – сызба заттың формасы туралы кеңістік ұғымын қалыптастыру;

3. Дәлдік – сызбада орындалған графикалық операциялар жеткілікті түрде нақты нәтижесін беруі қажет;

4. Қарапайымдылық – көрініс тұрғызылған кезде қарапайым болуы қажет және тізбектелген графикалық операциялар түрінде объектінің бірмәндік сипаттауын беруі қажет.

Егер нүкте мен проекция жазықтығының арақашықтығы туралы ақпаратты сандық белгілеу көмегімен емес екінші проекциялар жазықтығында тұрғызылған нүктенің проекциясы арқылы берсе, онда сызба екі көріністі немесе кешенді деп аталады. Осындай сызбаның негізгі принциптерін француз ғалымы Гаспар Монж (1746-1818) келтірген.

Г.Монждің ұсынған әдісі бойынша кеңістікте екі өзара перпендикуляр орналасқан проекция жазықтықтарын қарастырамыз. Жазықтықтардың біреуін П1 деп белгілейміз және горизонталь орналастырамыз, ал екінші П2 жазықтығын вертикальды орналастырамыз. П1 – горизонтальды, П2- фронтальды проекциялар жазықтығы.

Проекция жазықтықтары кеңістікті төрт екі жақты бұрыштарға — төрт ширекті кеңістіктерге бөледі.

Ортогональды проекцияларға байланысты, проекция жазықтықтарынан бақылаушы шексіз үлкен қашықтықта бірінші ширекте тұр деп есептейміз. Проекция жазытықтарының қиылысу түзуі координатлар өсі деп аталады x12 немесе x болып белгіленеді. Көрсетілген проекциялардан тұратын жазық сызба алу үшін П1 жазықтығын x12 өсімен айналдыру арқылы П2 жазықтығымен беттестіреміз. Нәтижесінде алынған сызба Монж Эпюрі деп аталады. Геометриялық объектілер сызықты (нүкте, түзу, жазықтық), сызықты емес (қисық сызық, бет) және құраушы (көпжақтар) болып бөлінеді.

Проекция дегенiмiз – бейнелеу, және оны анықтау үшiн үш нәрсенi бiлуiмiз қажет:

НЕ проекцияланады (проекцияланатын объект)?

ҚАЙДА проекцияланады (проекцияланатын бет)?

ҚАЛАЙ проекцияланады (проекциялану тәсiлi)?

Проекцияланатын объект ретiнде, бiздi қоршаған ортадағы кез-келген затты алуға болады. Проекцияланатын бет ретiнде кез-келген жазық беттi алуға болады. Проекциялау бағыты мен тәсiлiн физикалық сәулелермен беруге болады. Проекциялау аспаптарының элементтерi ретiнде қарапайым үш геометриялық фигураларды таңдаймыз: НYКТЕ, ТYЗУ, ЖАЗЫҚТЫҚ. Паралель проекциялар пішіндердің кейбір қасиеттерін сақтай отырып, олардың нақты қалыптарын және өлшемдерін едәуір кем бұрмалайды. Алайда, параллель проекциялау тәсілі кішігірім өлшемді объектілерді кескіндеуде аса қолайлы. Егер барлық проекциялаушы сәулелер өз ара параллель болса, онда проекция деп аталады. Параллель проекцияны салу үшін алдын ала проекциялаушы сәулелер бағытын білу қажет.

Сурет. Паралель проекциялау

• 
  Түзудің проекциясы түзу болады;
  
• 
  Кеңістіктегі әрбір нүкте және түзу тек бір ғана проекцияға ие болады;
  
• 
  Түзудің проекциясын салу үшін оның бойында жатқан екі нүктені таңдап, проекциясын салып, солар арқылы түзу жүргізе салу жеткілікті.
  
• 
  Егер нүкте түзу бойында жатса, нүктенің проекциясы түзідің проекциясының бойында жатады. Мысалы К нүктесінің проекциясын түзудің проекциясының бойында жатыр;
  

• 
  Егер түзу проекциялаудың бағытына паралель болса, түзудің проекциясы нүкте болады;