Төменгі және жоғарғы интегралдық қосындылар



Дата15.05.2020
өлшемі152.59 Kb.

20. Тік төртбұрыш бойынша Риман интегралы. Бір айнымалы функцияның Риман бойынша интегралдануының критерийі. Өлшемді жиын бойынша алынған Риман интегралының анықтамасы.

Төменгі және жоғарғы интегралдық қосындылар

1. Тіктөртбұрыш бөлшектеуі

2. Төменгі және жоғарғы интегралдық қосындылар.

3. Қасиеттері (біреуі дәлелдеуімен)


1. Тіктөртбұрыш бөлшектеуі. тік­төрт­бұрышы мен оның кесіндісінің нүктелері арқылы бөлінген бөлшектеуі және кесіндісінің нүктелері арқылы бөлшектеуі берілсін. Сонда А тіктөрбұрышы дербес , , , тіктөртбұрыштарына бөлінеді. А тіктөрбұрышының осылай бөліктеуін арқылы белгілейміз. Егер арқылы А тіктөрт­бұрышының ауданын белгілесек, онда (мұндағы ) және , өйткені

А тіктөрбұрышының Р бөліктеуін құрайтын және бөлшектеулерінің ең үлкенін бөлшектеуінің диаметрі деп атаймыз да, оны ар­қылы белгілейміз. Сонымен .

Төменгі және жоғарғы интегралдық қосындылар. А тіктөрбұры­шында шектелген функциясы берілсін, яғни болсын. А тіктөртбұрышының бөліктеуіне сәйкес тіктөртбұрышындағы функциясының мен мәндерін сәйкес арқылы белгілейік, яғни Сонда бұлардың көмегімен түзілген қосындыларын сейкес Риманның жоғарғы, төменгі қосындылары деп атайды. Олардың мынадай екі қасиетін атап өтейік. 1-қасиет.Егер А тіктөртбұрышында (I) орындалса, онда

Анықтама: [a,b] кесіндісінде y= f(x) функциясы берілсін. [a,b] кесіндісін кез –келген



нүктелерімен бөліктерге бөлеміз. Әрбір [xi-1,xi] бөліктен қалауымызша

, нүктелерін алып, интегралдық қосынды деп аталатын

S

қосындысын құрамыз. белгілейміз.Егер lim Sn(f) шек бар болса, онда оны f(x) функциясының [a,b] кесіндісіндегі анықталған интегралы (Риман интегралы ) деп атайды да, былай жазады:


f(x)dx=lim (1)

0

Мұндағы а мен b сандарын анықталған интегралдың сәйкес төменгі және жоғарғы шегі деп атайды. f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде шектелген болсын. Онда mi = inf f(x), Mi = sup f(x) белгілер енгізіп мынадай қос





қосындыларды құрайық: s=, S=,

мұндағы s және S қосындыларын Дарбудың сәйкес төменгі және жоғарғы қосындысы деп атайды.

Егер f(x) функциясы [a,b] үзіліссіз болса, онда Дарбу қосындылары интегралдық қосындылардың ең үлкені және ең кішісі болады.

Сонымен, s



1 –теорема. [a,b] шектелген f(x) функциясының осы кесіндіде интегралдануы үшін lim(S-s)=0 шартының орындалуы қажетті және жеткілікті.

Қасиеттері Айталық жазықтығының шектелген жиыны болсын.  жиынын ұстайтын, яғни болатындай тіктөртбұрышын алайық. Егер  функциясы  жиынында анықталған болса, ондафункциясын енгіземіз.Егер функциясы  тіктөртбұрышында интегралданса,онда  функциясын  жиынында интегралданады деп айтамыз.Сонымен,  функциясының  жиыны бойынша Риман интегралытеңдігі арқылы анықталады.Екі еселі интегралдың төмендегі келтірілген қасиеттері тура бір айныма­лы­ның функциясының Риман интегралының сәйкес қасиеттеріндегідей дәлелденеді.

I. Егер  функциясы  және жиындарында интегралданса және

Øболса, онда бұл функция  жиынында да интегралданады әрі

II. Егер  функциясы  жиынында интегралданса, онда  (мұндағы ) функциясы да  жиынында интегралданады әрі III. Егер және  функциялары  жиынында интегралданса, онда олардың алгебралық қосындысы осы  жиынында интегралданады әрі



IV. Егер  және  функциялары  жиынында интегралданса, онда олардың көбейтіндісі де осы  жиынында интегралданады.V. Егер жиынында интегралданатын және функциялары осы жиында  теңсіздігін қанағаттандырса, онда VI. Егер  функциясы  жиынында интегралданса, онда функ­циясы да осы жиында интегралданады әріVII. Орта мән туралы теорема. Егер  және функциялары жиынында интегралданса әрі барлық үшін болса, онда

теңдігін қанағаттандыратын кесіндісінен саны табылады.

Достарыңызбен бөлісу:




©engime.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет