Түркістан облысы, Төлеби ауданы, №1 мектеп-гимназия Иманкулова Дильназ Фариддинқызы 9-сынып Тақырыбы: «Алтын қима»
жүктеу/скачать 1,05 Mb.
|
Алтын қима
- Бұл бет үшін навигация:
- А р х и м е д с е р і п п е с і Фибоначчи сандары
| Архимед серіппесі
17 Алтын тікбұрыштардан квадраттарды жүйелі шексізздікке дейін кесіп тастап, әрдайым қарсы нүктелерді шеңбер ширегімен қосса, біз қарапайым қисық аламыз. Бірінші назарды оған көне грек ғалымы Архимед аударған. Ол оны зерттеп, серіппе теңдеуін шығарды. Қазіргі уақытта Архимед серіппесі техникада кеңінен қолданылады.
Фибоначчи сандары Алтын қимамен лақап аты Фибоначчимен белгілі Пизадағы итальян математигі Леонардонаның атымен байланысты. 1202 жылы оларға «Liber abacсi» атты кітап жазылған болатын, яғни «Книга об абаке». «Liber abacсi» өз алдында көлемді еңбек ұсынады, сол уақыттағы барлық арифметикалық және алгебралық мәлімдеулерді дерлік ұстанатын және бірнеше жүз жылда математиканың Батыс Еуропада дамуына үлкен рөл атқаруда. Сонымен қатар, бұл кітаптың арқасында еуропалықтар үндістік («арабтық») сандармен танысты. Кітаптағы материал үлкен сандағы тапсырмаларды анықтайды. Осы трактаттың маңызыд бөлігін алады. Мына бір тапсырманы қарастырайық: 18 «Бір жұптан бір жылда қанша қоян дүниеге келеді?
Бір кісі бір жұп қоянды барлық жағынан қоршалған жерге орналастырылған. Жылына қанша қоян туылытынын білу керек. Бір айдан соң қояндар жұбы басқа қояндарды дүниеге әкеледі. Туылған көжектер екі айдан соң қояндар өздері көжектер әкеледі. Енді қояндар санынан келесі сандар ретін ұсынайық: u1, u2 … un Онда әрбір мүше алдыңғы екі қосындыға тең, яғни un = un-1+un-2 Берілген реттілік асимптотикалық түрде үнемі қарым-қатынаста болады. Бірақ бұл қатынас ирроциональды, яғны шексіз сандар. Оны нақты жеткізу мүмкін емес. Егер Фибоначчи жүйелілігінің мүшесін оның алдындағыға бөлсе (мысалы, 13:8), нәтижесі зор иррационалды мағына 1.61803398875... және біреу арқылы басым түседі, бірақ оған жетпейді. Жүйеліліктің асимптотикалық қылығы иррационалды Ф саны түсініктірек болар еді, егер жүйеліліктің бірнеше алғашқы мүшелерін көрсетсе. Мына үлгідегі біріншіге екінші мүшенің, үшіншінің екінші мүшеге, төртіншінің үшіншіге қатынасы беріліп, тоғысып жатады. 1:1=1.0000 фиден төменірек 0.6180 2:1=2.0000 фиден жоғарырақ 0.3820 3:2=1.5000 фиден төменірек 0.1180 5:3=1.6667 фиден жоғарырақ 0.0486 8:5=1.6000 фиден төменірек 0.0180 19 Жылжу өлшемімен Фибоначчи жүйелігінде әрбір жаңа мүше келесіні үлкен және үлкен жақындауларымен Ф мүмкіндігіне бөледі. Адам құдайшыл пропорцияны саналы түде іздейді, ол оның комфортты қажеттілігін өлшейді. Фибоначчи жүйелілігінің мүшесін болу кезінде, кері 1.618 үлкендігі пайда болады. Бірақ бұл да ерекше және ғажап құбылыс. Бастапқы арақатынас – шексіз бөлшек, бұл қатынаста шек болмауы тиіс. Әрбір санды келесіге бөлерде 0.382 санын аламыз. 1:0.382=2.618 Осындай тәсілмен арақатынастарды ала отырып, Фибоначчи коэффициентінің негізін аламыз: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236. Сонымен қатар 0.5 екенін ескереміз. Олар табиғатта және техникалық сараптамада ерекше роль ойнайды. Алтын қима біз көргендей дұрыс бесбұрышпен байланыста пайда болады, сондықтан Фибоначчи сандары барлық жағынан роль ойнайды. Дұрыс бесбұрыштардың – бесбұрыштар мен дөңестерге қатысы бар. Фиббоначи қатары математикалық казус болып қана қалар еді, егер де алтын қима зерттеушілері өсімдік, жануарлар әлемінде, өнерде қоспағанда, арифметикалық тұжырымға сай болуы керек. Ғалымдар Фибоначчи саны мен алтын қима теориясын белсенді түрде дамытты. Ю. Матиясевич Фибоначчи сандарын қолданып Гильберттің 10 мәселесін шешті. Бірнеше кибернетикалық тапсырмаларды Фибоначчи сандарын, алтын қиманы қолдана отырып бірнеше тәсілдермен шешті. АҚШ-та Фибоначчидің математикалық ассоциациясы құрылған, ол 1963 жылдан бері арнайы журнал шығарады. Осы саладағы үлкен жетістіктердің бірі Фибоначчи сандары мен алтын қиманың талдау қорытындылары. Фибоначчи қатары (1,1,2,3,5,8) және «екілік» сандардың қатары 1,2,4,8,16... қатарының ашылуы. Бірақ олардың құрылыс алгоритмі бір-біріне өте ұқсас: бірінші жағдайда әрбір сан алдыңғы санның суммасы, яғни 2=1+1;4 = 2+2..., екіншіде-бұл алдыңғы екі сан 2=1+1,3=2+1,5=3+2... «Екілік» қатар, Фибоначчи қатары шығатын жалпы математикалық формуланы табуға бола ма? 20 Шынында, S сандық параметрін алайық, ол кез-келген: 0,1,2,3,4,5... S+1 олардың алғашқы сандар – олар жалғыз, ал олардың әрқайсысы алғашқы екі санның суммасына тең. Егер осы қатардың n санын, S(n) арқылы белгілесек, онда S(n)= S(n-1)+ S(n- S-1) аламыз. Әрине, S=0 болса, осы формуладан «екілік» қатар аламыз, S=1 болса Фибоначчи қатары S=2,3,4 тең, сандардың жаңа қатары Фибоначчи сандары S атауына ие болады. Жалпы түрде алтын S пропрциясы теңдіктің түбірі S қимасы х S+1-х S-1=0 S=0 болса кесінді бөлімі тең болады, ал S=1 болса, бізге таныс калассикалық алтын қима болады. Фибоначчи сандарының S көршілестері математикалық абсолютті дәлдікпен алтын S пропорциясымен сәйкес келеді. Яғни, S қималары Фибоначчи сандары S инварианттары болып табылады. жүктеу/скачать 1,05 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|