Уравнения математической физики: Методические указания

жүктеу/скачать 1,22 Mb.

бет	3/6
Дата	07.02.2022
өлшемі	1,22 Mb.
	#87778
түрі	Методические указания

1 2 3 4 5 6

Байланысты:
ypravl matemat fiziki 1

Лемма. Если - общий интеграл уравнения (5.2), то функция есть частное решение уравнения (5.1).
Данную лемму приводим без доказательства.
Функция называется характеристикой уравнения (5.2). А уравнения (5.1) и (5.2) называются уравнениями характеристик.

6. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Поскольку для уравнений гиперболического типа , то уравнения (5.2 а) и (5.2 б) различны.

Тогда (см. выражения после уравнения (4.2)):

, , .
Делим (4.2) на , получаем канонический вид уравнения гиперболического типа:

.

Проверим, что наша замена невырожденная, то есть .

Рассмотрим - общий интеграл уравнения (5.2 а).
Дифференцируем его:

,

.

Рассмотрим - общий интеграл уравнения (5.2 б).

Дифференцируем его:

,

.

В результате имеем:

; .

Стало быть, замена невырожденная.

7. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Поскольку для уравнений параболического типа , то уравнения (5.2 а) и (5.2 б) одинаковые и имеют вид:

Пусть - общий интеграл этого уравнения.

Можно доказать, что в качестве функции допустимо брать либо x, либо y.

Тогда (см. выражения после уравнения (4.2)):

, , .

Докажем от противного, что . Учтём, что , а значит и

При этом конечно .

Пусть (с учётом определения )
=

==.

Откуда:

,

. (*)

Учтём теперь, что - общий интеграл уравнения (5.2 а), которое теперь имеет вид:

,

.

Тогда:

. (**)

Сравнивая (*) и (**), находим:

то есть получили противоречие . Следовательно .

Делим (4.2) на , получаем канонический вид уравнения параболического типа:

.

8. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ

ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Поскольку для уравнений эллиптического типа , то (5.2 а) и (5.2 б) соответственно имеют вид:

, .

Запишем - и - общие интегралы уравнений (5.2 а) и (5.2 б):

,

,

и сделаем в (2.1) замену переменных:

Так как , то ,.

Делим (4.2) на . Получаем канонический вид уравнения эллиптического типа в комплексной области С²:

,

,

.

Пересчитаем смешанную производную в действительных переменных и :

; .

В итоге получаем канонический вид уравнения эллиптического типа в действительной области R²:

.

Пример 1. Привести уравнение

к каноническому виду.

Решение:
В данном случае
, , .
, - гиперболический тип.
Составим уравнения характеристик:

,

,

,

, ,

, ,

, , , ;

;

;

=

=;

=

=;

.

Подставив найденные выражения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

,

,

.
Пример_2'>Пример 2. Привести уравнение

к каноническому виду.

Решение:
В данном случае
, , .
- параболический тип.
Составим уравнения характеристик:

,

,

, .

Сделаем замену переменных: , (произвольная функция).

, , , ;

; ;

=; =; .

Подставив найденные выражения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

,

.

Пример 3. Привести уравнение

к каноническому виду.

Решение:
В данном случае
А=xy², В= - x²y, С=x³.
, - параболический тип.
Составим уравнения характеристик:

, ,

,

,

,

.

Сделаем замену переменных: , (произвольная функция).

, , , ; , ,

,

=,

=,

=.

Подставив найденные выражения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

,

,

.

Пример 4. Привести уравнение

к каноническому виду.
Решение:
В данном случае
, , .
, - эллиптический тип.
Составим уравнения характеристик:

,

,

.

Сделаем замену переменных: , .

, , , ,

, .

Подставив найденные выражения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

9.ПРИМЕР ФИЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩЕЙ

К УРАВНЕНИЮ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Рассмотрим натянутую струну, закреплённую на концах.

Определение. Под струной понимают тонкую нить, удовлетворяющую следующим условиям:

сила натяжения , действующая на струну, столь значительна, что можно пренебречь действием силы тяжести. Пусть в состоянии покоя струна направлена по оси абсцисс.
Струна абсолютно гибкая, то есть она не сопротивляется изгибанию, не связанному с удлинением. Вектор натяжения направлен по касательной.
Все точки струны колеблются в одной и той же плоскости, и каждая точка колеблется по прямой перпендикулярной оси абсцисс. Плоскость колебания xOu. Здесь - смещение струны в точке x в момент времени t.
Рассматриваются только малые колебания, так что можно пренебрегать квадратом производной по сравнению с единицей.

Выполняется закон Гука (см. курс общей физики): натяжение струны прямо пропорционально её удлинению.

Для дальнейшего изложения нам понадобятся три вспомогательных утверждения.

1. Докажем, что при выполнении вышеизложенных условий вектор силы натяжения струны не зависит от t, то есть . Длину отрезка в момент времени t обозначим . Тогда

.

Разность есть длина отрезка в состоянии покоя. Длина со временем не изменилась, поэтому и натяжение струны по времени не изменилось.

2. Покажем также, что
,
где - угол между касательной в точке с абсциссой x к струне в момент времени t и положительным направлением оси x. Имеем:

.

3. Аналогично получаем: .

Для вывода уравнения колебания струны воспользуемся принципом Даламбера, согласно которому: результирующая всех сил, действующих на дугу (включая силу инерции), равна нулю.
Составим условие равенства нулю суммы проекций на ось Ou всех сил, действующих на дугу : сил натяжения, внешней силы, силы сопротивления среды и силы инерции.
Пусть - сила натяжения в точке x₁. Её проекция на ось Ox:

; проекция на ось Ou:

.

Пусть - сила натяжения в точке x₂. Её проекция на ось Ox:

; проекция на ось Ou:

.

Определим силу сопротивления, рассчитанную на единицу длины: . Её проекция на ось Ox равна нулю. Здесь - коэффициент сопротивления среды.

Проекция силы сопротивления на ось Ou: .

Пусть на струну действует внешняя вынуждающая сила перпендикулярно
оси абсцисс: . Проекция этой силы на ось Ox равна нулю; её проекция на ось Ou:

.

Определим силу инерции: . Здесь - линейная плотность массы струны. Проекция этой силы на ось Ox равна нулю. Её проекция на ось Ou:

Тогда по принципу Даламбера имеем:

, (9.1)

. (9.2)

Из (9.1) следует, что ; x₁ и x₂- произвольные точки. Таким образом, вектор натяжения не зависит от х.

Подставим в (9.2):

,

.

Используя свойство аддитивности по интегрируемым функциям определённого интеграла, запишем:

. (9.3)

Отсюда в силу произвольности и следует, что подынтегральная функция должна равняться нулю в каждой точке в любой момент времени :

. (9.4)

Уравнение (9.4) и есть искомое уравнение колебаний струны.

Запишем некоторые частные случаи. Считаем и константами. Получаем:

, (9.5)

где обозначено , , .

Если пренебречь сопротивлением , то в случае отсутствия внешней силы уравнение (9.5) перейдёт в уравнение:

, (9.6)

которое называется уравнением свободных колебаний струны.

10. НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Уравнение (9.5) имеет бесчисленное множество частных решений. Поэтому одного уравнения (9.5) для полного определения движения струны недостаточно. Искомая функция , удовлетворяющая уравнению (9.5), должна удовлетворять также начальным условиям, описывающим положение и скорость всех точек струны в начальный момент времени и граничным (краевым) условиям, указывающим, что происходит на концах струны ( и ) при любом t.

Пусть, например, концы струны при и неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства:

Эти равенства называются граничными условиями.

В начальный момент времени струна имеет определённую форму, которую ей придали. Пусть эта форма определяется функцией . Таким образом:

.

Далее, в начальный момент времени должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией . Тогда

Последние два равенства называются начальными условиями.

Итак, физическая задача о колебании струны свелась к математической задаче: найти такое частное решение уравнения (9.5), которое удовлетворяет начальным и граничным условиям.

11. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

жүктеу/скачать 1,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6