Уравнения математической физики: Методические указания

Разделив обе части на , получим:

Учитывая граничные условия, запишем:

Задача Штурма-Лиувилля принимает вид:

Запишем общее решение первого уравнения системы:

Тогда:
,

Возвращаясь к функции , получаем:

Интегрируя по частям, получаем:

Тогда окончательно:

Разделив обе части на , получим:

Учитывая граничные условия, запишем:

Задача Штурма-Лиувилля принимает вид:

Запишем общее решение первого уравнения этой системы:

Тогда для функции имеем:

Возвращаясь к функции , получаем:

Интегрируя последнее выражение с использованием формул приведения, получаем:

Заметим, что при 3, 8 выражение для определено в силу первого замечательного предела: , .

14. ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Привести уравнения к каноническому виду

1. .

Ответ: , , .

2. .

Ответ: , , .

3. .

Ответ: , , .

4. .

Ответ: , , .

5. .

Ответ: , , .

6. .

Ответ: , , .

7. .

8. .

Ответ: , , .

9. .

Ответ: , , .

Решить уравнения

10. , если , .

Ответ: .

11. , если , .

Ответ: .

12. , если , .

Ответ: .

13. , если , .

Ответ: .

14. Найти форму струны, определяемой уравнением

Ответ: , т. е. струна параллельна оси абсцисс.

15. Найти форму струны, определяемой уравнением

Ответ: .

16. Однородная струна, закреплённая на концах и , имеющая в начальный момент времени форму

где - достаточно малое число, начала колебаться без начальной скорости. Найти форму струны при её свободных колебаниях.

Ответ: .

17. Однородная струна, закреплённая на концах и , имеет в начальный момент времени форму параболы, симметричной относительно перпендикуляра, проведённого через точку . Определить смещение точек струны от прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутствуют.

при краевых условиях

Ответ: .

18. Найти закон колебания струны, расположенной на отрезке [0,l], если в начальный момент времени струне придана форма кривой , а затем струна отпущена без начальной скорости. Струна закреплена на концах. Внешние силы отсутствуют.

Ответ: .

Рекомендуемая литература

1. 
   Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. - М.: Физматгиз, 1962.
   
2. 
   Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. - М.: Интерал - Пресс, 2004.
   
3. 
   Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики. - М.: Наука, 1975.
   
4. 
   Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2.-М.: ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2002.
   
5. 
   Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. - М.: Наука, 1969.
   
6. 
   Годунов С. К. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1971.
   
7. 
   Очан Ю. С. Сборник задач по методам математической физики. - М.: Высшая школа, 1973.
   
8. 
   Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 2004.
   
9. 
   Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Лекции по математической физике. - М.: Изд-во МГУ, 1993.
   
10. 
    Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Задачи по математической физике. Учебное пособие. - М.: Изд-во МГУ, 1998.