Уравнения математической физики: Методические указания
Пример 5. Найти решение уравнения , если , . Решение
жүктеу/скачать 1,22 Mb.
|
ypravl matemat fiziki 1
- Бұл бет үшін навигация:
- Решение
| Пример 5. Найти решение уравнения
, если , . Решение: Здесь , , . Тогда согласно (12.8) получаем: . Пример 6. Найти решение уравнения , если , . Решение: Здесь , , . Тогда согласно (12.8) получаем: . Пример 7. Найти форму струны, определяемой уравнением в момент времени , если , . Решение: Согласно (12.8) получаем: . В момент времени имеем: , то есть струна совпадает с биссектрисой I и III квадрантов. 13. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА НА ОТРЕЗКЕ [0, l] Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения гиперболического типа (уравнение однородное, граничные условия однородные). В этом случае для свободных колебаний струны имеем: , , ; (13.1) граничные условия (13.2) начальные условия (13.3) Условия (13.2) означают, что оба конца жёстко закреплены. Например, гитарная струна. Первая строка (13.3) задаёт вид струны в начальный момент времени, вторая строка (13.3) задаёт скорость точек струны в начальный момент времени. Частное решение (13.1) ищем в виде произведения множителей, каждый из которых зависит только от одной переменной: . (13.4) Поиск решения уравнения (13.1) в виде (13.4) называют методом Фурье. Подставим (13.4) в (13.1): , или
Здесь заметим, что согласно нижеследующим построениям неопределённость дроби вида при снимается и равна . Две функции разных переменных тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда они обе константы. Тогда получаем: , (13.5) . (13.6) Подставим (13.4) в (13.2): , . Чтобы получить нетривиальные, т. е. не равные тождественно нулю, решения вида (13.4), удовлетворяющие граничным условиям (13.2), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (13.6), удовлетворяющие граничным условиям , . (13.7) Таким образом, приходим к следующей задаче: найти такие значения параметра (собственные значения), при которых существуют нетривиальные решения (собственные функции) уравнения (13.6), удовлетворяющие граничным условиям (13.7). Эту задачу называют задачей Штурма-Лиувилля. Составим характеристическое уравнение . 1) Пусть , тогда . - общее решение уравнения (13.6). Подставляя в (13.7), имеем , (длина струны l отлична от нуля). Значит - тривиальное решение, которое нас не интересует. 2) Пусть , , тогда . В результате - общее решение уравнения (13.6). Решение содержит гиперболические функции, которые определяются следующим образом: , . Подставляя в (13.7), находим: , (т. к. ). В силу того, что , находим . Значит , т. е. опять тривиальное решение, которое нас не интересует. 3) Пусть , , тогда . Как известно, в этом случае (при ): - общее решение уравнения (13.6). Подставляя в (13.7), получаем: , (т. к. ), берём , n=1,2,…. Отсюда найдём: , , ( , т. к. - любое). Теперь найдём функцию . Решим уравнение (13.5): . Запишем характеристическое уравнение (при частном решении вида ~ ) , . Общее решение имеет вид: , где - и - произвольные постоянные. Подставим найденные и в (13.4): , . В силу линейности и однородности уравнения (13.1) всякая конечная сумма решений также будет решением. То же справедливо и для функционального ряда: . (13.8) Если ряд (13.8) равномерно сходится (см. признак Вейерштрасса в курсе математического анализа), то его можно почленно дважды дифференцировать по и . В этом случае он, также как и его составляющие , удовлетворяет уравнению (13.1) и условиям (13.2), (13.3). Подставляя (13.8) в (13.3), находим: , . Предположим, что функции f и F представимы в виде рядов по (в данном случае) синусам, тогда в силу теоремы единственности разложения в ряд найденные ряды и есть ряды этих функций по синусам (неполные тригонометрические ряды Фурье). Коэффициенты разложения (коэффициенты ряда Фурье) находим следующим образом: жүктеу/скачать 1,22 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|