Урок Ограниченные и монотонные последовательности План урока
Теорема о переходе к пределу в неравенстве
жүктеу/скачать 0,54 Mb.
|
Анықтама
| 4.1. Теорема о переходе к пределу в неравенстве
Лемма 1. Если последовательность сходится к числу , то найдется такое число M, что для всех номеров члены положительны. Если последовательность сходится к числу , то найдется такое число M, что для всех номеров члены отрицательны. Доказательство. Если , то, взяв , придем к существованию такого числа M, что для всех номеров выполняются неравенства . Правое неравенство нас не интересует, а из левого следует, что для всех . Чтобы установить справедливость второго утверждения, достаточно рассмотреть последовательность , которая сходится к числу . Лемма 2. Если все члены сходящейся последовательности не меньше 0, то . Если все члены сходящейся последовательности не больше 0, то . Доказательство. Предположим, что все члены последовательности , но . Тогда по второму утверждению леммы 1 все члены последовательности с достаточно большими номерами меньше 0. Полученное противоречие приводит к тому, что . Второе утверждение леммы доказывается аналогично. Теорема (о переходе к пределу в неравенстве). Если последовательности и сходятся, и для всех n выполняется неравенство , то . Доказательство. По лемме 2 из неравенства следует . Как показывает пример последовательностей , при переходе к пределу в строгом неравенстве не обязательно получается строгое неравенство. В самом деле, , но . Заметим, что лемма 2 и теорема о переходе к пределу в неравенстве справедливы, если соответствующие неравенства для членов последовательностей выполняются для всех достаточно больших номеров.
жүктеу/скачать 0,54 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|