Урок Ограниченные и монотонные последовательности План урока
Ограниченные последовательности
жүктеу/скачать 0,54 Mb.
|
Анықтама
| 4.2. Ограниченные последовательности
Отметим одно простое, но важное свойство последовательностей, имеющих предел. Сначала дадим определение. Последовательность называется ограниченной, если ее члены принадлежат некоторому отрезку числовой оси. Ограниченность последовательности означает, что можно найти два таких числа m и M, что для всех натуральных чисел n. Теорема. Всякая последовательность, имеющая предел, ограничена. Доказательство. Пусть . Возьмем произвольное положительное число , например, . По определению предела найдется такое число , что при все члены этой последовательности будут принадлежать интервалу , то есть при будут принадлежать интервалу . Следовательно, вне этого интервала может находиться лишь конечное число членов последовательности . Например, пусть такими оказались . Поэтому, если взять число m как наименьшее из чисел и , а число как наибольшее из чисел и , то все члены последовательности будут содержаться в отрезке . А это и означает, что последовательность ограничена. Доказанная теорема иногда позволяет установить, что некоторая последовательность не имеет предела. Например, последовательность , 2, 3, 4, … , n, ... не ограничена, а поэтому предела не имеет. Вопрос. Верно ли утверждение, обратное доказанной в этом пункте теореме, то есть, если последовательность ограничена, то она имеет предел? жүктеу/скачать 0,54 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|