4.4. Теорема Вейерштрасса о существовании предела у ограниченной монотонной последовательности
Теорема Вейерштрасса. Каждая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
Примем эту теорему без доказательства и рассмотрим некоторые ее применения. Заметим, что теорема Вейерштрасса верна и в том случае, когда последовательность монотонна, начиная с некоторого номера.
Пример 1. Пусть x – действительное число, а и – последовательности его десятичных приближений по недостатку и по избытку соответственно. Тогда для каждого натурального n имеем неравенства . Отсюда следует, что последовательность возрастает, последовательность убывает, и обе последовательности ограничены. Поэтому существуют , . Но так как , то
.
Значит, последовательности и имеют общий предел. Но так как при любом , то этот общий предел равен числу x.
Итак, каждое действительное число является пределом как последовательности своих десятичных приближений по недостатку, так и последовательности своих десятичных приближений по избытку.
Пример 2. Найдем предел последовательности , при каждом .
Заметим, что . Так как при , то последовательность – убывающая при номерах, которые больше числа . Далее, для всех n. Поэтому вследствие теоремы о пределе монотонной ограниченной последовательности существует число такое, что при . Но тоже сходится к p.
Поэтому , откуда , , .
Достарыңызбен бөлісу: |
