Монотонные последовательности

Следуя употребляемой нами терминологии, всякая «строго возрастающая» последовательность является, в частности, «возрастающей», поскольку из справедливости неравенства вытекает справедливость неравенства .Заметим еще, что существуют последовательности, являющиеся одновременно и возрастающими, и убывающими – это последовательности, все члены которых равны между собой, постоянные последовательности. Добавление слова «строго» исключает возможность совпадения членов последовательности.

Последовательности любых перечисленных типов – возрастающие, строго возрастающие, убывающие или строго убывающие – принято назвать монотонными. Таким образом, строго монотонная последовательность не может иметь равных членов.

Иногда те последовательности, которые мы называем возрастающими, называют неубывающими (а те, которые мы называем строго возрастающими, называют возрастающими); соответственно, те последовательности, которые мы называем убывающими, называют невозрастающими (а те, которые мы называем строго убывающими, называют убывающими). Такое словоупотребление достаточно логично, однако применяя его, мы сталкиваемся с тем обстоятельством, что «не убывающая» последовательность, т.е. та, которая «не является убывающей», не может быть названа «неубывающей», например, последовательность 1, , 1, , 1, , 1, , 1, , … .