Вопрос. Как доказать, что при ?
Это интересно
Вейерштрасс, Карл Теодор Вильгельм (31.10.1815-19.02.1897) – немецкий математик. Исследования Вейерштрасса посвящены математическому анализу, теории функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии и линейной алгебре. Много занимался вопросами обоснования математического анализа на основе построенной им теории действительных чисел.
(Приложение – портрет, рис. 1)
4.5. Число Эйлера
Рассмотрим последовательность
,
где . Заметим, что . Поэтому , то есть последовательность строго возрастает. Докажем, что эта последовательность ограничена.
Возьмем число . Все множители в знаменателе, начиная со второго, больше двух либо равны двум. Если каждый такой множитель заменить на 2, то дробь увеличится, поэтому
.
Значит,
.
Таким образом, , и ограниченность последовательности доказана.
Следовательно, по теореме Вейерштрасса, последовательность сходится. Предел последовательности называется числом Эйлера, обозначается через e и имеет в науке такое же важное значение, как и всем известное число . Можно доказать, что число e иррационально. Приближенное значение числа e по недостатку с точностью до 25 знаков равно .
Достарыңызбен бөлісу: |
