Алгоритм извлечения квадратного корня из числа

где a – данное положительное число, а – произвольное положительное число. Докажем, что независимо от выбора последовательность сходится к .

Если последовательность сходится, то ее предел должен являться корнем уравнения , которое приводится к уравнению . Так как , то пределом может быть только . Но для такого вывода нужно еще обосновать сходимость последовательности .

Какое бы мы ни выбрали – больше или меньше , имеем

откуда . Вообще, для всякого

Далее,

поэтому последовательность убывает, как только , то есть при .

Таким образом, при начальном выборе последовательность , , , …, , … убывает и ограничена снизу числом ; как мы уже показали, ее предел . Если же , то последовательность убывает, начиная со второго члена, и предел ее опять равен .

Оценим скорость сходимости последовательности  к  . Обозначив через , из формулы находим

С каждым шагом отличие от уменьшается по крайней мере вдвое.

Рекуррентная формула дает нам очень простой и удобный вычислительный алгоритм, обладающий к тому же высокой скоростью сходимости. Очень легко составить по этому алгоритму программу вычисления корня квадратного из числа. Даже, взяв начальное приближение равное 1000, через 10 итераций погрешность будет составлять число, заведомо меньше 1 ( . Наш алгоритм оказался не только быстросходящимся, но и устойчивым – при любом выборе начального приближения он приводит к с нужной степенью точности, а при случайном сбое в вычислении n–го приближения, сделанная ошибка быстро стремится к 0; при сбое для получения требуемой точности нужно взять чуть больше итераций.