Варинг мәселесі абдрахманова Жұпар, Ғылымханова Лимара

«Шәкәрім университеті Семей қаласы» коммерциялық емес акционерлік қоғамы

«5В010900-математика» мамандығының 1 курс

бакалавриат, Семей,Қазақстан

Ғылыми жетекшісі – доцент Жолымбаев О.М.

1, 4, 9, 16 ... квадраттарының қатары шексіз жалғасудан кейін сирей бастайды: бұл қатардағы мүшелердің аралықтары біртіндеп өседі. Дегенмен, бұл аралықтарда екі санның квадратының қосындысы ретінде жазуға болатын сандар кездеседі, мысалы: және т.б. Бірақ кез келген сан екі санның квадраттарының қосындысы ретінде жазыла бермейді; мысалы, егер бізге 6 саны берілсе, онда квадраттарының қосындысы 6 болатын 1 мен 4 сандары ғана болатын еді. Бірақ, 1+1 де, 4+4 те, 1+4 те 6-ны бермейді. Қосындыдан 6 санын алу үшін, үш санның квадратын қосу керек: . Бұл тәсілді 7 санының жіктелуіне қолдансақ, тіпті үш санның квадратының қосындысын пайдалансақ та нәтиже бермейді; бұл жерде төрт санның квадратының қосындысы қажет: . 8 саны үшін қайтадан екі санның квадратының қосындысы ғана жеткілікті: ; 9 саны өзі санның квадраты болып табылады; және т.б.

Бұл алғашқы бақылаулар, жақында төрт санның квадраты да жетпейтінін, ары қарай жалғасыру үшін одан үлкен квадраттар саны қажет екенін көрсетеді. XVII ғксырдың математиктері Декарт пен Ферманың алған нәтижелері қызығарлықтай көрінеді. Ферма кез келген оң бүтін санды ең үлкен дегенде төрт санның квадраттарының қосындысы ретінде көрсетуге болатынын айтты. XVIII ғасырдың ағылшын математигі Э. Варинг кубтар, иквадраттар және жоғары дәрежелер үшін ұқсас теоремаларды табуды өзіне тапсырма, міндет етіп қойды; осындан бастап бұл мәселе Варинг мәселесі деген деген атқа ие болды.

Сандардың кубтары болып келесі сандар табылады: 1, 8, 27, 64, ... . Егер, кейбір үлкен емес санды кубтардың қосындысы ретінде жазуға болатын болса, онда 7 саны үшін жеті куб қажет болушы еді ( ), ал 15 саны үшін - 8 куб ( ), 23 үшін – 9 куб ( ). Дегенмен, 31 санына жетпес бұрын, бұл көріністі өзгертетін 27 санын кездестіреміз: бұл жерде бес санның кубарының қосындысы ғана бар.

Дегенмен мұндай эмпирикалық зерттеулер кез келген санды ең көп дегенде 9 кубтардың қосындысы түрінде болатынын , натурал сандар қатарын кейбір орнынан бастап ең көп дегенде 8 немесе 7 кубтардың қосындысы түрінде көресетуге болатынын ешқашан дәлелдей алмайды. Бұл екі бекітулерден ең алғаш рет мүлдем жас математик - Виферих дәлелдеді; ал екінші сұраққа келетін болсақ, әйгілі неміс математигі Э. Ландау қандай да бір белгілі саннан бастап, сегіз кубтардың қосындысын ғана қолдануға болатындығын қосалқы күрделі тәсілмен дәлелдеді.

Биквадраттар (төртінші дәрежелі сандар) үшін біз осы нақты талқылауларды жүргізуіміз қажет. 1, 16, 81, 256, ... сандары алғашқы биквадраттар болып табылады. 15 саны көріп тұрғанымыздай 15 биквадраттың қосындысына тең; 31 – 16 биквадарттың қосындысына; 47 – 17; 63 – 18; 79 – 19 биквадраттың; ары қарай біз 81 санын кездестіреміз және көрініс бірден өзгереді . Бұл жерден мынандай сұрақ туындайды - әрдайым , яғни натурал сандардың барлық тізбегінде 19 биквадратпен ғана шектелуге бола ма. Бұл сұрақтың жауабына біртіндеп жақындаймыз. Лиувилль кез келген санды биквадратпен жіктеу үшін ең үлкені 53 биквадрат жеткілікті екенін дәлелдеді; біртіндеп бұл көрсеткіш 47, 45, 41, 39, 38 дейін біртіндеп төмендеді. Виферих бұл санды 37-ге дейін төмендетіп, рекордты жаңартты; бірақ эмпирикалық ұсынылған 19-ға дейі әлі алыс болды.

Гильберт өзінің әйгілі жұмыстарының бірінде барлық шешімі жоқ сұрақтарға кең қызығушылық көзқараспен қарады; ол бұрын бекітілген рекордтардың ешқайсысын жаңартуға тырысқан да жоқ. Ол жалпы ортақ сойлемді, яғни кез келген санды бірдей дәрежедегі сандардың қосындысына жіктеген кезде әрдайым қосындылардың шектік сандары бар болатындығын (жіктелген санға қатысты емес, дәреже көрсеткішіне ғана байланысты) дәлелдеді; жоғарыда біз бұл сөйлемді квадраттар үшін (мұндағы қосындылардың шектік саны 4-ке тең болатын) айттық; ал кубтар үшін (мұндағы бұл сан 9-ға тең) және биквадраттар үшін (мұнда ол 37-ге тең). Әрине, берілген дәреже көрсеткішті санды дәреже көрсеткіші өскен сайын өсетін әрбір бүтін санға жіктеуге болады.

Ағылшын математиктері Гарди мен Литтлвуд бұл мәселеге Гильбертке қарағанда мүлдем басқа әдіспен қарады. Оқушы бұл әдістердің ерекше мүмкіндітерінен кейбір мағлұматтарды алады, егер оларға нені көрсету мүмкін болғандығын білсе – және бұл авторлар берген нәтижелердің тек біреуі ғана, яғни – белгілі бір орыннан бастап натурал сан қатырының кез келген санын әрдайым ең үлкен дегенде 19 биквадраттың қосындысы ретінде көрсетуге болады.

Жоғарыда біз өзінің жіктелуінде 19 биквадратты қажет сандар натуралс ан қатырының басында кездесетінін байқадық. Гарди мен Литтлвуд бойынша, қандай да бір бастап ең үлкені 19 биквадраттың қосындысы болатын анықталған N саны бар болды (N саны соншалықты үлкен болғандықтан Гарди мен Литтлвуд оны нақты есептеуді ойластырған да жоқ). Ең үлкені 19 биквадраттың қосындысы ретінде жіктеуге болатынын көрсету үшін, N-нен аспайтын барлық сандарды жіктеуге болатындығын және сонымен қоса кубтар мен квадраттарға қатысты да. Сонымен, әзірге Гардидің N санын орнын басуға теория жеткіліксіз, мұндай қайта қарау барлық есептеу күштерін жеңеді.

Біз математикалық мәселелердің рәсімделуін белгілі бір нақты материалдарға сүйеніп, өз кезегінде математикалық эмпирикалық нәтижелерді түсіндіруге көп тоқталдық.

Келесі ретте осы мәселерлер ауқымындағы қолданысын тапқан және тіпті Гильберттің тамаша дәлелдеуіне көмек болған кейбір әдістер туралы ақпарат беруге тырысамыз. Гарди мен Литтлвуд қолданған математикалық аппараттың мықтылығы соншалықты, тіпті нағыз кітаптың шегінен шығып және бұл жерде жариялана алмайды.

Әрдайым жасайтынымыздай алдымен қарапайым жағдайды қарастырайық. Сіздер кезінде жатқа жаттаған формуланы әлі де естеріңізде шығар
.
Ал егер ұмыстқан болсаңызда, онда қарапайым жақшаларды ашу ережесін пайдаланып, a мен b-ның мәндері қандай болса да бұл теңдік орындалатынын көруге болады. Мұндай кез келген әріптерге қатысты дұрыс болатын теңдіктерді математиктер тепе-теңдіктер деп атайды.

Басқа күрделірек тепе-теңдікті көрсетейік:

Бұл жердегі соңғы екі мүше жойылады, ал қалғандарын келесі түрде жазуға болады:

ал бұл (1) теңдіктің сол жағындағы өрнекпен пара-пар.

Бұл тепе-теңдіктен келесі қызықты салдар шығаруға болады:

Егер бізде екі санның квадратының қосындысы түрінде жаза алатын екі сан бар болса, онда бұл қасиетке олардың көбейтіндісі де ие болады. мысалы, 13 пен 41 – сандары осыған байланысты: (1) формуланы қолдана отырып, келесі тепе-теңдіктерді аламыз:

сонымен 533 саны шынымен де екі санның квадраты түрынде көрсетілді; дәл осындай тәсілмен (1) формуланы пайдаланып, біз басқа ұқсас сандарға қатысты орындай аламыз.

Тағы бір жаттығуды көрсетейік. Ең алдымен төртмүшеліден тұратын сандардың қосындысын квадраттау формуласын көрсетелік:



XVIII ғасырдың әйгілі математигі Л.Эйлер келесі тепе-теңдікті тапты:






, (2)
бұл теңдіктің дұрыстығын тексеру үшін жақшаларды көбейтіп, жоғарыда келтірілген төртмүшенің қосындысының квадраты формуласын пайдалану жеткілікті. (1) мен (2) формулалардың ұқсастықтары, әрқайсысын төрт квадраттың қосындысы түрінде жазуға болатын екі санның көбейтіндісінің өзін төрт санның квадраты түрінде жазуға болады. Лагранж бұл ескертулерді, кез келген санды төрт санды төрт санның квадратының қосындысы түрінде жазуға болады деген теореманы керемет түрде дәлелдеуге қолданды. Дәлірек айтқанда, келтірілген ескертулерден, ең алдымен барлық құрама сандар үшін орындалуы ақиқат болуы үшін, оны жай сандар үшін дұрыс екенін дәлелдеу керек.

Бірақ (2) теңдік Лагранждың ары қарайғы дәлелдеуінде де негізгі формула болды. Дәлелдеулер ұзақ болғандықтан бұл кітапта оның барлығын бірдей жазу мүмкін емес. Сондықтан біз тек қана оның сипаттамаларын атап көрсетуге құқылымыз. Ары қарай біз бұл теоремаларды нақтыланған және дәлелденген дерек ретінде қарастыра береміз.

Бұл теоремаға сүйене отырып, XIX ғасырдың бірінші жартысындағы атақты француз математигі Лиувилль кез келген санды 53 биквадраттың қосындысы түрінде жазуға болатындығын дәлелдеді. Ол келесі тепе-теңдік арқылы дәлелдеді:






. (3)

Бұл теңдіктің ақиқаттығын растау үшін, бірінші бөлігін көбейткен кезде келесіні негізге алу қажет

және бұл қатынаста бірдей белгілері x бар болатын, кез келген басқа қостар биквадраттары үшін де орын бар. (3) теңдіктің бірінші бөлігі бұл барлық түрлендірулерден кейін мынаған тең болады:

онда

a, b, c, d сандарының әрқайсысына Лиувилль Ферма теоремасын қайтадан қолданады, мысалы,

бұдан

Енді (3) теңдікті қолданамыз. Бұл теңдік оң жақ бөліктегі бірінші қосылғышты 12 биквадраттың қосндысы түрінде жазуға болатындығын көрсетеді; дәл сондай көріп тұрғанымыздай оң жақ бөліктегі қалған үш қосылғыштарға да орындалады; әзірге барлығы биквадрат бар; оған тағы да санында болатын барлық бірліктерді қосуға болады ( санына үлкен биквадраттар кірмейді); қалдығы 0, 1, 2, 3, 4, 5 сандарын қамтығандықтан, бұл бірліктер 5-тен көп емес. Сонымен, теоремада тұжырымдалғандай барлығы ең үлкен дегенде 53 биквадрат бар.

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвящение, 1996, С. 302-305.

2. Хинчин А.Я. Три жемчужины теории чисел // под.ред А. Б. Шидловский – 3-е изд.-

М.: Наука, 1979, С. 33-35.