Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ
жүктеу/скачать 13,94 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
ЛЕММА 2.2. (а) Если вольтерровый оператор, - унитарный оператор, действующие в гильбертовом пространстве и удовлетворяющие условию    (2.1)
то операторное уравнение  (2.4)
для любого вещественного числа , отличного от нуля, и правой части  (2.5)
где  .
(б) для любого элемента  (2.6)
которая показывает скорость приближения элемента (в) если  и  , то величина  стремится к нулю.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. а) Оператор  вполне непрерывен и самосопряжен, поэтому все его собственные значения вещественны. По альтернативе Фредгольма любое комплексное число является либо собственным значением вполне непрерывного оператора, либо принадлежит к резольвентному множеству, стало быть, оператор  ограниченно обратим при любом вещественном значений  . Следовательно, уравнение
разрешимо при любом вещественном , т.е. имеет место формула: 
Найдем Фурье представление этого решения. 
Оценим норму 
б) Из условия следует, что существует такой элемент пространства , что  . Оператор ограничен и  , поэтому
в) Оценим норму 
Из условия следует сходимость ряда  , поэтому для любого  существует такой номер  , что  . При фиксированном найдем число  , такое, что для всех  имеет место
неравенство. Следовательно, для любого существует , такое, что для всех имеет место неравенство  , что и требовалось доказать.
Заметим, что если является элементом функционального пространства, иначе говоря, функцией, то быстрота сходимости к нулю величины  зависит от гладкости функции 
жүктеу/скачать 13,94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
