Проектирование гидравлического цилиндра по методу последовательной частной оптимизации Задание: спроектировать гидравлический цилиндр с минимальным
наружным диаметром
d Н , обеспечивающим силу на штоке
F , превышаю-
щую некоторое минимальное значение
F min
при следующих ограничениях
(рис. 4.14):
− толщина стенки
δ должна быть из технологических соображений
больше некоторой минимально возможной величины
δ min
;
− давление жидкости
должно быть меньше, чем максимально
возможное давление
min
;
− напряжение в стенках цилиндра σ должно быть меньше допусти-
мого напряжения [
σ ].
Оптимизационная модель
d H → min при ограничениях:
≥
; ≥
; ≤
; =
в
2
≤ [ ]. (4.19)
Независимыми переменными являются внутренний диаметр
d B , тол-
щина стенки
δ и напряжение
σ .
Электронный
архив
УГЛТУ
115
Рис. 4.14. Гидроцилиндр
Развиваемая цилиндром сила
F ,
давление и внутренний диаметр
d B связаны соотношением
=
4
. (4.20)
Для исследования монотонно-
сти исследуем функцию ограничений,
полученную из зависимости (4.20):
=
4
= 1.
Функция ограничений
φ 1
моно-
тонно возрастает с увеличением и
d B и уменьшается с увеличением
F .
Зависимость между напряжением
, давлением и внутренним диа-
метром
d B определяется формулой (4.19), откуда функция ограничений
=
= 1
. (4.21)
Функция
φ 2
монотонно возрастает с увеличением
δ и
σ уменьшается
с увеличением и
d B .
Все функции монотонны. Между диаметрами наружным и внутрен-
ним имеется зависимость
d H = d B + 2
δ .
Из формул (4.20) и (4.21) имеем
=
; 2 =
.
(4.22)
Целевая функция представляется в виде
=
4
+
→ min. (4.23)
Переменные
F и
σ встречаются в целевой функции каждая только в
одном слагаемом. Причем функция
F ограничена снизу, а функция
σ –
сверху. С увеличением
F наружный диаметр
d H монотонно возрастает.
Следовательно, минимальное значение d
H
при
F = F min
. С увеличением σ
диаметр
d H монотонно уменьшается. Следовательно, для минимизации
d H необходимо взять
σ = σ max
. Тогда
d H остается только функцией :
=
4
+
[ ]
→ min
Электронный
архив
УГЛТУ
116
или
=
+
→ min
,
где
=
4
;
=
[ ]
.
Иначе задача сводится к безусловной оптимизации. Взяв производ-
ную и приравняв ее к нулю, найдем значение
p , при котором
d H будет ми-
нимальным:
= −
1
2
+
= 0,
откуда
=
2
.