Республикасының

Стирлингтің интерполяциялық формуласы

жүктеу/скачать 326,84 Kb.

бет	13/21
Дата	29.01.2022
өлшемі	326,84 Kb.
	#115787

1 ... 9 10 11 12 13 14 15 16 ... 21

Байланысты:
is 4

Бесселдің интерполяциялық формуласы
Аз өлшеулер әдісі

Стирлингтің интерполяциялық формуласы

Гаусстың бірінші (5.11) және екінші (5.12) формулаларының орта арифметика мәні Стирлингтің интерполяциялық формуласын береді:

( ) ( )

⁽ ⁾

⁽ ⁾

( )

Бесселдің интерполяциялық формуласы

Егер Гаусстың екінші интерполяциялық көпмүшесі жинағының жартысын және сондай көпмүше, бірақ біреуге жоғары төменгі индексті ( - дің орнына базалық нүктемен) алсақ, Бесселдің интерполяциялық формуласын аламыз:

⁽ ⁾ ( )

( )

( ) ( )

⁽ ⁾⁽ ⁾( )

·

( )( )

( )

( )

⁽ ⁾⁽ ⁾⁽ ⁾⁽ ⁾ ⁽ ⁾( )( )

( ) ^{( )( )(}

⁾⁽ ^{) (}

⁾( )

( )

(5.14)

Соңғы формулада, егер оған ̂ ⁽ ⁾аргументінің мәніне сәйкес

келетін

мәнін қойса, оның өте қарапайымданып кететінін байқауға

болады.

Бессел формуласының бұл дербес жағдайын ортаға интерполяциялау формуласы деп атайды:

( )

(5.15)

Сонымен, егер кестемен берілген ⁽ ⁾функциясының жуық мәнін табатын нүктесі кестенің басында немесе аяғында жатады, базалық нүктенің осындай таңдауына Ньютонның сәйкесінше бірінші (5.7) немесе екінші (5.9) формулалары ^| ^|мәні анағұрлым аз болатындай қолданылады. Егер нүктесі кестенің ортасында болса, онда нүктесін әрдайым орталық айырмалар кестесінде ( ) немесе модулі бойынша ^| ^| болатындай етіп белгілеуге болады, сол кезде Стирлингтің (5.13) интерполяциялы формуласын қолдануға болады, немесе (5.15) Бесселдің формуласын қолдану үшін ^| ^| болуы керек.
Мысал 5.3. y = sinx функциясы мәндері кестесін пайдалана отырып, алдын-ала әр жағдайға сәйкес интерполяциялық формулаларды жазып жуықталған мәндерді табу керек: а) sin 31; б) sin 41; в) sin 48; г) sin 54.
Шешуі. Айырмалар кестесін құра отырып, айырманың үштен бірінің тұрақты екенін көреміз.

кесте

x (градуспен)	x(радианмен)	y	Δy	Δy2	Δy3
30	0,5236	0,5000
			0,0736
35	0,6109	0,5736		-0,0044

			0,0692		-0,0005
40	0,6981	0,6428		-0,0049
			0,0643		-0,0005
45	0,7854	0,7071		-0,0054
			0,0589		-0,0003
50	0,8727	0,7660		-0,0057
			0,0532
55	0,9599	0,8192

Сол себепті формулаларда төрт мүше алған жеткілікті: а) есептеу үшін бар:

Бірінші интерполяциялық формула (5.7) бойынша және кестедегі берілгендерді ескере отырып, аламыз:

⁽⁾ ⁽ ⁾

⁽⁾⁽⁾ ( )

б) есептеу үшін бар: нүктесі кестенің ортаңғы бөлігінде

жатыр. Сондықтанда мұнда Стирлингтің немесе Бесселдің формуласын қолдану дұрыс. Мұнда деп алып және

тауып, осы жағдайда мына түрге келетін Стирлинг (5.13) формуласына тоқталамыз:

( )

в) sin 48 есептеу үшін орталық интерполяциялық формулалардың қолданылуы мүмкін. деп алып және есептеп

(5.15) негізінде Бесселдің интерполяциялы формуласын жазамыз:

⁽ ⁾ ( )₍₎

г) есептеу үшін бар: нүкте түйіннің аяғында орналасқан,

сондықтанда функцияны экстраполяциялау үшін Ньютонның екінші интер- поляциялық формуласын (5.9) қолдану керек. деп есептеп,

ескеріп, экстраполяция формуласын жазамыз:

⁽ ⁾ ⁽⁾ ⁽ ⁾

⁽⁾ ( )

Аз өлшеулер әдісі

Интерполяция әдісін қолдануға болады: мәндері нүктелерінде ⁽ ⁾-тің 5.1-кестедегі сәйкесінше мәндерімен тура келетін интерполяциялы көпмүше тұрғызуға (мысалы, Лагранждың немесе Ньютонның) болады. Бірақта мәндердің түйіндердегі сәйкес келуі кейде берілген және интерполяциялайтын функцияның тәртіптерімен сай деуге келмеуі мүмкін.

Әрі қарай 5.1-кестесінің мәндері статистикалық (тәжірибелік) деп. ата- лады және осы берілген мәндердің негізінде пен айнымалыларын байла- ныстыратын функция алынуы керек:

( ).

Мұндай функцияны анықтау үшін статистиканың негізгі есептері аталатын екі есепті шығару керек:

аппроксимациялайтын функцияның жалпы түрін анықтау, ⁽ ⁾ ол белгісіз параметрлерден тұруы мүмкін, мысалы:

) )

)

)

) ⁽ ⁾ )

белгісіз параметрлерін анықтау.

Бірінші есеп феноменологиялық әдіспен, зерттеушінің ойымен және аргументі мен и функциясының кестелік мәндерімен шығарылады. Екінші есепті шығару үшін аз өлшеулер әдісі қолданылады.
Аз өлшеулер әдісінің мәні.

Жуықтаған функцияның параметрлерін табу әдісін жалпы түрде үш параметрлі жуықтаған функцияны мысалға келтіре отырып қарастырамыз:

⁽ ⁾ ( 5.16)

⁽ ⁾ аламыз. немесе функцияларының мәндеріне сәйкес келетін айырмалардың квадраттарының жинағы мына түрде болады:

∑^[ ( )^] ⁽ ⁾

Есеп минимумды іздеуге алып келеді. Қажетті экстремум шарттарын қолданамыз:

яғни

∑^[ ( )^] ⁽ ⁾

∑^[ ( )^] ⁽ ⁾ ( )

∑^[ ( )^] ⁽ ⁾

(5.17) сызықты теңдеулер жүйесінен a,b,c коэффициенттері анықталады және ізделініп отырған функцияның ⁽ ⁾нақты түрін аламыз.

Табылған ⁽ ⁾функциясының мәні нүктелерінде

кестелік мәнінен айырмашылығы болады деп күту орынды.

Айырмалардың мәндері:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ( )

-тің өлшенген мәндерінің (5.16) формуласы бойынша есептелген мәндерінен ауытқуы деп аталады.

Мысалдан көрініп тұрғандай, параметр санының өзгерісі әдісті бұрмалай алмайды, тек (5.17) жүйесінде теңдеулер санының өзгерісінде көрсетіледі.

Аппроксимациялайтын функция ретінде сызықты функция қаралатын аппроксимацияның ең қарапайым жағдайын қарастырамыз. Бұл жағдай сызықты аппроксимация деп аталады. Сонда функция мына түрге келеді:

∑( )

мұндағы мен – белгісіз параметрлер, ал минимум шарты:

⁄ ∑( )

⁄ ∑( )

Жәй түрлендірулерден кейін және екі белгісізі бар екі теңдеулер жүйесін алуға болады:

∑ ∑ ∑

∑ ∑

мұндағы тәжірибе саны.

Осы жүйені шеше келе, мен белгісіз параметрлердің мәндерін алуға болады

мұндағы

∑ ∑ ∑ ∑
Мысал 5.4. Электртұрмыстық тауарларға орта мерзімді болжамды халық сұранысының экономика-математикалық моделінің бағасы мен құрылуын бірнеше жыл ішіндегі тауар айналымының динамикасы негізінде қарастырайық (5.5-кесте).

кесте

Тауарайналым (млн. тен.)	1,8	4,3	4,3	6,4	5,7	7,5	7,8	9,2	?
Уақыт жыл	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2030

Алдыңғы жылдардағы сұранымның өзгеру үрдісі келешекте де сақталады деп болжап, 2030-жылға сұраным болжамын жүзеге асыру керек.

Шешуі. Корреляциялы аймақта шашырау диаграммасын тұрғызамыз және математикалық байланыс формаларының біздегі бар сызбалы модельдерімен салыстырамыз. Есептеу операцияларын жеңілдету үшін жаңа координаттар жүйесіне көшеміз (5.2-суретті қараңыз).

5.2 сурет – Шашырау диаграммасы

Барлығына қарағанда парабола түріндегі тәуелділік неғұрлым сай келетінін анықтаймыз:

Есеп оның минимумын табу керектігіне алып келеді, (5.17) формуланы пайдаланамыз және бірнеше түрлендірулерден кейін аламыз:

∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑

{
∑ ∑ ∑
Есептеулер жүргізу ыңғайлырақ болу үшін аралық есептеулердің нәтижелерін келесі талдауларды ескере отырып 5.6-кестеге енгіземіз.

кесте

N
1	1,8	2005	1	1	1	1	1,8	1,8
2	4,3	2006	2	4	8	16	17,2	8,6
3	4,3	2007	3	9	27	81	38,7	12,9
4	6,4	2008	4	16	64	256	102,4	25,6
5	5,7	2009	5	25	125	625	142,5	28,5
6	7,5	2010	6	36	216	1296	270	45
7	7,8	2011	7	49	343	2401	352,8	50,4
8	9,2	2012	8	64	512	4096	524,8	65,6
Σ	47	-	36	204	1296	8772	1543,6	250,6

Кестеде берілген мәндерді пайдалана отырып, бір қалыпты теңдеулер жүйесін мына түрде көшіріп жазамыз:

{

Бұл жүйені алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістерінің бірімен шешеміз де коэффициенттердің мәнін табамыз:

Осы негізде электртұрмыстық тауарларға халық сұранымы болжамының экономика – математикалық моделін жазамыз:

Алынған моделді пайдаланып, халық сұранымының мәнін анықтаймыз:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

жүктеу/скачать 326,84 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 9 10 11 12 13 14 15 16 ... 21