Лангранж интерполяциялы көпмүшесі

<sup>( )

( )</sup>( )

^{( )}( )

^{( )}( )

( )( )


( )( )


( )( )

Лангранж коэффициенттерін есептеуге ыңғайлы болуы үшін төмендегі

2. 
   кестесі пайдаланылады:
   

5.2 кесте


Бірінші жолдағы элементтер көбейтіндісін деп, екіншісін – деп, және т.б. белгілейміз. Бас диагонал элементтерінің көбейтіндісі (сызбада асты сызылған элементтер), көріп отырғанымыздай, ( ) болады.

Осыдан шығатыны

^{( ) ( )}

Демек,

^{( )}

( ) ∑

( ) (




₍
⁾
)( )

₍


^{) ( )}

Немесе неғұрлым ыңғайлы түрде жазамыз:

^{( )}

( )

^{( )} ( )

( )

мұндағы



^{( )}

(5.7) көпмүшесі Ньютонның бірінші интерполяциялық көпмүшесі деп аталады.

n=1 және n=2 болғанда (5.7) формуласынан дербес жағдай аламыз:

• 
  сызықты интерполяция
  

^{( )}

• 
  квадратты интерполяция
  

^{( )}

( )

Мысал 5.2. 5.3-кестеде берілген мәндер бойынша функцияны табу керек.

2. 
   кесте
   

y	x	Δy
0,3704	2,70	-0,0028
0,3676	2,72	-0,0026
0,365	2,74

Шешуі. (5.7) формуласын қолданып, n=1болғанда, аламыз:

<sup>( )

( )</sup>

5.2.2 Ньютонның екінші интерполяциялы көпмүшесі.

Бұл үшін, (5.5) ерекшелігі, ^{( )} интерполяциялы көпмүшенің түйіндердің кері қарай кезектесіп қосылатын түрі алынады: басында соңғы, одан кейін соңғының алдындағы және т.б.

Бұл көпмүшенің коэффициенттері (5.5) көпмүше үшін табылғанға ұқсас табылады, тек мұнда орнына түйін нүктелерін қою мен интерполяциялы теңдіктерді қарастыру кері қарай жүреді.

деп, аламыз:

^{( )
( ) ( )} .

^{( )}

₍

<sup>) (

)(

)</sup>

^{( )( )}

Және т.б. Жалпы түрде

( )

^{( )}
Соңында, Ньютонның екінші интерполяциялы көпмүшесін аламыз:

_{( ) (}

) ( )( )

₍




) ( )
( )

(5.8)-ге кері қоямыз, жаңа айнымалы енгіземіз (

) және (5.8)-ге кіретін айырмаларды түрлендіреміз:

^{( )}

Нәтижесінде Ньютонның мына түрдегі екінші интерполяциялы формуласын аламыз:

( ) ^{( ) ( )}

( )


^{( )} ( )

( )

Формуланы тағы ^{| |} мәндерінде де, яғни түйінінің маңайында кері интерполяция үшін (q (-1, 0) болғанда) және алға экстраполяция үшін (q > 0 болғанда) пайдаланады.

3. Гаусстың интерполяциялы формулалары

1. 
   Гаусстың бірінші интерполяциялы формуласы.
   

Функцияның біржақты мәндерін ғана пайдалану – Ньютонның интерполяциялы формулаларының негізгі кемшіліктері болып саналады. Тәжірибеде бастапқы мәнге қатысты алғанда функцияның алдыңғы және келесі мәндері бар формулаларды қолдану жиі тиімді болып жатады.

Қандай да бір ^{( )} функцияның мәндері

берілген бір-бірінен бірдей қалып қоятын түйіндерді қарастырайық:

Басында i = 0 болғанда, одан кейін i = 1 болғанда, содан соң i = -1 және т.б., яғни -дің екі жағынан болжаммен біртіндеп түйіндерін қосатын мына түрдегі полиномды табамыз:

<sup>( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( )( )( )</sup>
( _{( )}) ^{( )( )( ) ( )( )}

(5.10)
Алдыңғы жағдайдағыдай, ( ) коэффициенттерді L(x)-ке бірінен кейін бірін тізбектей және ^{( )} интерполяциялы теңдікке

мәндерін қоя отырып табамыз.

Ньютонның бірінші интерполяциялы формуласын қорытқан сияқты

коэффициенттері үшін мына теңдеулерді аламыз:




( )







( ) ( )

Жаңа айнымалы енгіземіз q=

және ол арқылы барлық

, ... үшін айырманы жазып, осы айырмалар мен коэффициенттер

<sup>( )

( )





( ) ( )</sup>

<sup>( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )




( )</sup> ( ) ^{( )} ( )

( )

( )

( )

(5.11)

Егер бұл формулада барлық өсетін, яғни 5.4-кестеде тұтас сызықпен сызылған реттердің төменгі орталық айырымдары пайдаланылатынын білсе, жазылған қосындыларды келесілермен оңай толықтыруға болады.

3. 
   кесте - Орталық айырымдар кестесі
   

5.3.2 Гаусстың екінші интерполяциялы формуласы.

Алдыңғыға тура ұқсас, басқа ретпен ( -ден кейін) түйіндерді қоса келе, басында алдыңғысы, одан кейін келесісі және т.б., яғни ( ) мына түрдегі полиномды табамыз:

<sup>( )

( )





( ) ( )</sup>

<sup>( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )





( )</sup> ( ) ^{( ) ( )}

( )

^{( )}
(5.12)

Гаусс формулалары кестенің ортасында -дің маңында интерполяция үшін қолданылады. Бұл ретте Гаусстың бірінші формуласы (5.11) болғанда, ал екіншісі (5.12) – болғанда қолданылады.

4. 
   
   жүктеу/скачать 326,84 Kb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: