Республикасының
Қарапайым дифференциал теңдеулер үшін шекті есептерді шешу
жүктеу/скачать 326,84 Kb.
|
is 4
Қарапайым дифференциал теңдеулер үшін шекті есептерді шешуТор әдістері Инженерлік тәжірибеде механиканың, физиканың, тербелістер теориясының есептерін және басқа көптеген есептерді шешу кезінде қарапайым дифференциал теңдеулер үшін мына түрдегі шекті есептерді шешу жиі қажет болып жатады: ( ) ( ) ( ) ( ) мұндағы ( ) ( ) ( ) –үзіліссіз және [ ] аралығында анықталған, берілген функциялар, ал – тәуелсіз айнымалы, – белгісіз функция. [ ] аралығының шекарасында шекті шарттар берілген: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) мұндағы – белгілі тұрақты шамалар, j=0,1. Егер (8.2) және (8.3) шекті шарттары берілсе: – шарт бірінші текті шарт деп аталады; – шарт екінші текті шарт деп аталады; – шарт үшінші текті шарт деп аталады. [ ] аралығында (8.1) дифференциал теңдеуін және (8.2) және (8.3) шекті шарттарды қанағаттандыратын ( ) функциясын табу керек. 2-ретті дифференциал теңдеулер үшін екі нүктелі сызықты шекті есептерді жуықтап шешудің бірнеше әдістері қарастырылады. Алдымен бастапқы есептерді сандық шешу әдістерінің жинақталған арсеналын қолдандыратын әдістер оқытылады. Ары қарай тор түйіндеріндегі туындылардың қарапайым аппроксимациялары негізінде автоматты есептеулер үшін ыңғайлы, шешудің негізін алатын соңғы айырма әдісі құрылады және оның сандық тұрақтылығы оқытылады. Шекті есептерді дәл (аналитикалық) шешу Коши есептерін шешуге қарағанда көбірек қиындықтар туғызатыны белгілі. Осыдан қызығушылық артады және мұндай есептерді шығарудың жуықталған әдістері сан түрлі. Жуықтап шешу нәтижелерінің типтеріне қарап әдісті 2 топқа бөлуге болады: [ ] бөлігінде шекті есептің жуықталған шешуін қандай да бір нақты функция түрінде беретін жуықталған аналитикалық және берілген [ ] торында жуықтап шешудің өздік сандық немесе тор әдісі. Жуықталған әдістерді сараптау негізінде оларды келесі түрдегі класстарға бөлуге болады:
Коши есебіне мәліметтер әдісі (атқылау әдісі, дифференциалды қуалау әдісі, редукция әдісі); соңғы айырма әдісі; баланстар немесе интегро-интерполяциялау әдісі; коллокация әдісі; проекциялау әдістері (моменттер, Галёркиннің); вариациялау әдістері (аз өлшеулер, Ритцтің); проекциялы-айырмалы әдістері (соңғы элементтер әдісі); Фредгольмнің интегралды теңдеулеріне және басқаларына мәліметтер әдісі. Төменде осы келтірілген тізімдегі 1, 2, 4, 5, 6 әдістердің идеялары және оларды кейбір жүзеге асырулар қарастырылады.
Соңғы айырма әдісі. Шекті есептерді шешудің соңғы айырма әдісі (САӘ) идеясы айтарлықтай қарапайым және өзінің аты айтып тұрғандай: дифференциалдық теңдеулерге туындының орнына олардың соңғы айырма аппроксимациясы қолданылады. ( ) қадаммен [ ] бөлігіне тор енгіземіз: { | } Осы торда берілген (8.1) дифференциалдық теңдеудің функционалды коэффициенті болатын тордық функциялар анықталады: ( ) ( ) ( ). у(х) –ті (8.1) - (8.3) берілген шексіз есептің нақты шешуі деп есептеп, ( ) ( ) ізделініп отырған жуықтап шешудің негізінің і-ші құраушысын ( ) арқылы белгілейміз. Туынды мәндерін соңғы айырма қатынасымен 2-ретті дәлдіктің симметриялы формуласы бойынша аппроксимациялаймыз: ( ) Сонда бастапқы (8.1) дифференциалдық теңдеу ізделініп отырған функцияның дискретті мәніне қатысты дискретті формула түрінде жазылады:
Ұқсас мүшелерді (8.5)-ке келтіріп алған соң, 2-ретті стандартты 3 нүктелі айырма теңдеуін аламыз: ( ) мұндағы ( ) ( ) ( ) болғанда. (8.6) жүйесінің жетіспей тұрған екі теңдеуін шекаралық (8.2) және (8.3) шарттарынан аламыз, мұндағы ( ) (8.6) формулалары ізделініп отырған функцияның бөліктеу нүктелеріндегі белгісіз мәндеріне қатысты сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі болып табылады және бұл жүйе негізгі үш матрицасы үш диагоналды болатын ерекшелікке ие. Сонымен, (8.1) дифференциал теңдеуінің орнына (8.6) сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешу қажет. жүктеу/скачать 326,84 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|