Республикасының

Шешуі.

1. 
   Абсолют қателіктерімен бірге әр амалдың мәнін табамыз:
   

2. 
   Функцияның мәнін есептеп, оның салыстырмалы қателігін табамыз:
   

3. Түзету

Есепті санды шешу үшін оның шешімінің бар екендігіне сенімді болу керек сол себепті де түзету ұғымы кәдімгідей шынайы шарттарды ескереді. Сондай-ақ есептің шешу жолының жалғыздығына және тұрақтылығына да шарттар орынды.

x* берілгені бойынша y*есебін шығару тұрақты, егер ол бастапқы деректерге үздіксіз тәуелді болса. Бұл бастапқы деректердің аз өзгерісіне шешуінің аз өзгерісі сай келеді деген сөз. Дәлірек айтқанда,
|x – x*| <
шартын қанағаттандыратын x* берілгендерінің барлығына y* жуықталған шешім сәйкес келеді, ол үшін |y – y*| < ε, кез-келген ε > 0 үшін = (ε) > 0 болады.

Мына үш шарт орындалса, есеп дұрыс деп табылады:

1. 
   Кез-келген жіберілетін бастапқы деректер үшін шешуі бар.
   
2. 
   Шешуі бірден-бір.
   
3. 
   Бастапқы деректер өзгерісіне қатысты бұл шешу тұрақты.
   

2. Алгебралық және трансценденттік теңдеулерді шешу

Көптеген ғылыми және инженерлік есептерде, мысалы, электродинамикада берілу сызықтары мен резонаторлардағы электромагнитті толқындық тербеліс үдерістерін математикалық модельдеуде дисперсиялық деп аталатын теңдеу алады, мына түрдегі теңдеуді шешу керек болады:

Егер ^{( )} функциясы – ке қатысты көпмүше болса, онда (2.1) теңдеуі алгебралық сызықты емес деп аталады (мысалы, ), егер ^{( )} функциясы элементар (тригонометриялық, логарифмдік, көрсеткіштік және т.б.) функцияларынан тұрса трансцендентті деп аталады (мысалы,

(2.1) теңдеуін геометриялық шешу ( ) функциясы графигінің ОХ осімен қиылысу нүктелерін табу болып табылады.

Сызықты емес теңдеулерді шығару әдістері тура және итерациялы бөліп бөлінеді. Тура әдіс сызықты емес теңдеулерді формула көмегімен және

әрдайым дәл шешім шығарады (мысалы, квадрат теңдеуді шешуге арналған теңдеу). Бірақ олар кейбір теңдеулер үшін ғана, сондықтан практикада екінші әдіс – итерациялық әдіс кеңінен қолданылады. Мұнда шығару жолы түрінде кейбір алгоритмдерді бірнеше рет қолданады. Алынған нәтиже нақты мәніне қаншалықты жақын болса да әрқашан жуықталған түрде болады. Сонымен қатар, теңдеулер көбінесе жуықталып берілген коэффициенттерден тұрады, осыдан есептің өзі түбірді нақты анықтау мағынасынан айырылады.

Итерациялық әдістерді екіге бөлуге болады:

1. 
   Түбірі бар интервалды тарылту әдісі (мысалы, жартылай бөлу әдісі, алтын қимасының әдісі). Мұнда ( ) функциясының мәні емес, таңбасы ғана пайдаланылады. Мәндер салыстырмалы түрде қарапайым болғанымен ұқсастық жылдамдығы төмен болады.
   
2. 
   ^{( )} функциясы қандай да бір қарапайым ( ) функциясына ауыстырылатын, сол үшін түбір ізделінетін аппроксимация әдістері (мысалы, хордалар әдісі, Ньютон әдісі). ^{( )} функциясының мәндерін пайдаланады. Бұларда ұқсастық жылдамдығы үлкенірек болады.
   

1. 
   түбірді бөлектеу, яғни (2.1) теңдеуінің оқшауланған түбірі бар аз ара қашықтық орнату (a,b);
   
2. 
   итерациялық әдістің көмегімен тапсырылған дәлдік дәрежеге дейін түбірді анықтау.
   

Төмендегі теңдеуді шешу үшін мысалқарастырайық:

х аргументіне әртүрлі мән бере отырып, функция мәнін табамыз:

Екінші кезеңде түбірді анықтау итерациялық әдістердің бірінің көмегімен іске асырылады, яғни ^{{ }} шешуге жақындау тізбегі

құрылады және мұнда итерациялық үдерістің екі өлшемдерінің бірін қолдануға болады:

1) ^| ( )^| ,

2) ^{| |} .

Екеуін бірге қолдануға да болады.

Итерациялық әдістердің негізгі сипаттамасы болып, олардың ұқсастық жылдамдығын сипаттайтын реті, яғни тапсырылған дәлдік болатын итерациялар саны табылады. Келесі жуықтау мен дәл шешудің арасындағы

ара қашықтықты ^{| |} арқылы белгілейміз. Көріп отырғандай, әдіс

1. 
   
   жүктеу/скачать 326,84 Kb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: