Республикасының

жүктеу/скачать 326,84 Kb.

бет	6/21
Дата	29.01.2022
өлшемі	326,84 Kb.
	#115787

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 21

Байланысты:
is 4

Мысал 2.1. Жартыға бөлу әдісімен 0,01 дәлдікке дейін

теңдеуді шешу.

Шешуі. Қарастырылатын түбірдің оқшаулау интервалы жоғарыда анықталған, бірақ оны функциясының графигін тұрғызып табуға болады.

^] ^[ара қашықтығын жартысынан бөліп, ( ) ( )

аламыз және ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ есептейміз. Демек, белгісіз түбір

^] ^[аралығында жатыр.

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ деп аламыз. Нәтижесінде белгісіз түбір ^] ^[аралығында жатады.

	⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ара қашықтық ^] ^[;
	⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ара қашықтық ^] ^[;
	⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ара қашықтық
^] ^[;
	⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ара қашықтық
^] ^[;
	⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ара қашықтық
	⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ара қашықтық
Осылайша,	біз ^] ^[ара қашықтығын алдық. Осыдан көрініп

Осы үдерісті жалғастыра отырып, алатынымыз:

^] ^[;

тұрғандай, 0, 01 дәлдікке дейінгі ізделініп отырған түбір .

Хордалар әдісі

Әдістің негізіне қарама-қарсы таңбалы екі мәннің сызықтық интерполяция функциясы жатады. Хордалар әдісі жартыға бөлу әдісіне

қарағанда аз ε мәні үшін аздаған арифметикалық операциялармен есепті шешуге жағдай жасайды.

[a,b] аралығында ⁽ ⁾ теңдеуінің түбірін табу керек болсын делік. Мұнда ⁽ ⁾[a,b] және ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ үздіксіз болсын. Бұдан басқа, пусть

⁽ ⁾пен⁽ ⁾[a,b] арасында өз таңбасын сақтайды дейік. ⁽ ⁾функциясын [a,b] арасында ( ⁽ ⁾) и ( ⁽ ⁾) нүктелері арқылы өтетін тура теңдеу құра отырып, сызықты функциямен алмастырамыз ( 2.2-суретін қараңыз):

( )

⁽ ⁾ ( )
⁽ ⁾ ^[ ⁽ ⁾ ( )^]

сурет – Хордалар әдісі

⁽ ⁾ екенін ескеріп, түбірдің бірінші жуықталған мәнін формула арқылы:

⁽ ⁾

⁽ ⁾ ⁽ ⁾
Әрі қарай ^[ ^] [ ] аралықтарын қарастырамыз және олардың ішінен қайсысының соңында ⁽ ⁾функциясы қарама-қарсы таңбалы мәндерге ие болады, соны таңдап аламыз. Таңдап алынған аралықта тағы сондай есептеулер жүргізіп, Тапсырылған дәлдікпен (2.1) теңдеуінен түбір алғанша

түбіріне екінші жуықтауды аламыз.

Егер - [a, b] арасындағы оқшауланған ⁽ ⁾ теңдеуінің нақты түбірі болса, aл – түбірдің хордалар әдісімен табылған жуықталған мәні болса, онда бұл жуықталған мәннің қателігі былай бағаланады:

^| ^|

( ) ( )

· |

[ ]

( ) ^[( )^]

|

Әдістің алгоритмі былай. Итерациялық үдеріс басталғанға дейін оның көмегімен шешуге ε дәлдігін және түбірі бар [a,b] аралығын береміз Содан кейін:

а) Түбірге жуықтауды есептейміз:

⁽ ⁾

⁽ ⁾ ⁽ ⁾
б) ^| ( )^| теңсіздігінің орындалуын тексереміз, егер бұл теңсіздік орындалатын болса, онда шешуі деп қарастырамыз, егер орындалмаса, есептеуді жалғастырамыз.

с) ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ шартын тексереміз, егер бұл шарт орындалса, деп

аламыз, керісінше болған жағдайда және есептеулерді а бөлімінен бастап қайталаймыз.

Мысал 2.2. теңдеуін 0,01 дәлдікпен шығару керек.

Шешуі. Алдыңғы мысалдан көрініп тұрғандай, оң түбір ^] ^[жатыр.

Түбірдің бірінші жуықталған мәнін формула бойынша табамыз:

⁽ ⁾

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

⁽ ⁾ , болғандықтан ^] ^[аралық бойынша хордалар әдісін қолданамыз:

⁽ ⁾

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

Үшінші жуықталған мәнін табамыз:

⁽ ⁾

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

⁽ ⁾
⁽ ⁾

Төртінші жуықталған мәнін табамыз:

⁽ ⁾

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

⁽ ⁾

Демек, 0,01-ге дейінгі дәлдікпен ізделініп отырған түбір 1,205.

Қию әдісі

Бұл әдіс хордалар әдісімен жүзеге асырылады, тек a мен b ғана түбірден алынады және тіркелмейді. Әдісті геометриялық талдап былай түсіндіреді (2.3 суретті қараңыз). Нүктелер арқылы түзу жүргіземіз (қиятындай) ОХ осімен қиылысқанша. нүктесін аламыз және одан ⁽ ⁾функциясының графигімен қиылысқанша ОХ осіне перпендикуляр түсіреміз.нүктесін аламыз. мен нүктелері арқылы қима жүргіземіз - нүктесін аламыз (қиманың ОХ осімен қиылысы) және т.б.

сурет - Қию әдісі

Жанамалар әдісі (Ньютон әдісі)

Әдіс ⁽ ⁾ОХ осімен қиылысуы жуықтауды және т.б. беретін қиманың бастапқы жуықтау нүктесіне алмасуына негізделген. Әдісті геометриялық талдап түсіндіру 2.4-суретте келтірілген. түбіріне бастапқы жуықтауды қандайда бір алып, нүктесінен ОХ осіне перпендикуляр түсіреді. Оның ⁽ ⁾функциясының графигімен нөл ізделінетін қиылысу нүктесінде қисыққа жанама жүргізеді. ОХ осімен жанаманың қиылысу нүктесі түбірге жаңа жуықтауды береді. Бұдан кейін үдеріс нүктесі және т.б. үшін қайталанады.

сурет - Ньютон әдісі

нүктесіндегі жанама теңдеуі - бұл ⁽ ⁾бұрыштық коэффициенті бар

( ⁽ )⁾берілген нүкте арқылы өтетін түзу теңдеуі:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾⁽ ⁾

Бұл жанаманың ОХ осімен қиылысу нүктесінде шамасы нөлге тең болады:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾⁽ ⁾

Осыдан мәнін аламыз:

( )

( )

Жалпы жағдайда кезекті жуықтау алдыңғы жуықтау арқылы Ньютон формуласы арқылы жазылады:

⁽⁾ (2.2)

( )
Егер түбірдің бастапқы жуықталған мәні берілген болса, онда (2.2) формуласы бойынша ізделініп отырған түбірдің кез-келген жуықтауы табылады, демек, шексіз сандар қатарын алуға болады, i=1,2,3, . . . Егер бұл қатар сай келсе, онда оның шегі ізделініп отырған түбірдің шын мәні болуы керек. Бірақ түбірдің бұл мәніне жету үшін итерацияның шексіз санын орындау керек. Сондықтан осындай есесптеу үдерісін аяқтау үшін теңдеудің берілген дәлдігімен анықталатын шарт болуы керек. Ол мына түрде болады:

^| ^| ε (2.3)

Түбірдің бастапқы жуықтауын таңдауда мына ережені ұстану керек: функция таңбасы екінші туындының таңбасымен сәйкес келетін [a,b] кесіндісінің ұшын бастапқы нүкте ретінде таңдау керек. Бірінші жағдайда

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ және бастапқы нүкте , екінші жағдайда ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

және бастапқы жуықтауды деп аламыз.

Ньютон әдісімен табылған түбірдің жуықтау мәнінің қателігін бағалау үшін мына теңсіздікті пайдалануға болады

^| ^|

^[ ( )^]

· |

[ ]

( ) ^[( )^]

|

Жанамалар әдісімен (2.1) теңдеуін шешу алгоритмі мына түрге ие болады:

а) түбірдің алғашқы жуықтау мәні компьютер жадысына енгізіледі; б) мәндерін қабылдайды;

в) (2.2) формуласымен түбірдің жаңа жуықтауы анықталады;

г) (2.3) шарты тексеріледі; егер ол орындалса, онда есептеу үдерісі аяқталады, ал егер (2.3) шарты орындалмаса, онда в бөлімі бойынша есептеу үдерісі жалғасады.

Мысал 2.3. Жанамалар әдісін екі рет қолдана отырып,

теңдеуінің ақиқат түбірінің [1; 1,5] аралығында оқшауланған жуықтау мәнін табу керек. Приближенные значения мен жуықталған мәндерін үтірден кейінгі екі таңбамен есептеу керек. жуықталған мәннің қателігін бағалау керек.

Шешуі. Формула бойынша бірінші түбірдің жуықталған мәнін табамыз:

( )

( )

Екінші жуықталу мәнін анықтаймыз:

( )

( )

Түбірдің табылған жуықталған мәнінің қателігін бағалаймыз:

_{| |}^[ ( )^]

( )

· |

^[^]^[

( )^]

^] ^[аралығында

⁽ ⁾
^| ^|

аламыз.

^|^[ ⁽ ^)]^|^|( ⁾^|

тең болғанда ол ең үлкен мәніне жетеді:

^| ^|

^[ ^]

яғни ^| ^| ; демек, в приближенном значении корня 1,206 түбірдің жуықталған мәнінде барлық цифрлар дұрыс.

жүктеу/скачать 326,84 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 21

Республикасының

Хордалар әдісі

Қию әдісі

Жанамалар әдісі (Ньютон әдісі)