14. Рационал бөлшектерді Остроградский әдісімен интегралдау.
Әрбір рационал бөлшектің алғашқы функциясы элементар болсада, оны есептеуде мынадай қиындықтар кездесуі мүмкін. Біріншіден, бөлімінің барлық түбірлерін білу керек: алгебраның негізгі теоремасы тек қана олардың бар болуын тұжырымдайды да, түбір табудың кейбір дербес жағдайлары болмаса, ешқандай жалпы әдістерін бермейді. Екіншіден, бөлімінің барлық түбірлерін білгенде де, интегралды есептеп шығу көлемді жұмыс болуы мүмкін. Сондықтан, кейбір дербес жағдайлар үшін осы қиындықтарды бәсеңдететін әдістер берілген. Соның бірі –Остроградский әдісі.
Әрбір дұрыс рационал бөлшектің интегралдануы жай бөлшектердің интегралдануына келтірілетіні белгілі. Енді сол жай бөлшектерді интегралдағанда қандай функциялар пайда болатынын дәлірек қарастырайық. Егер болса, онда (14), (16) және алдыңғы параграфтағы (16) рекуррентті формула бойынша үшін
(1)
Бұнда . Егер , болса онда (1) бойынша белгілі бір және сандық коэффициенттері үшін
(2)
Теңдігі орындалады, демек, (1) және (2) бойынша
Осылай жалғастыра беріп, болғанда барлық үшін
теңдігін қанағаттандыратын дәрежелі көпмүшелігімен нақты саны табылатынын көреміз. Мұнан, үшін
(3)
теңдігіне келеміз.
Енді дұрыс бөлшегі беріліп,
(4)
оның бөлімінің канондық жіктелуі болып,
, (5)
Болса, онда белгілі бір және көпмүшеліктерді үшін
(6)
теңдігі орындалатынын көрсетейік.
Расында да (мұнда жай бөлшек деп - тің жіктелуінің жай бөлшектерін айтамыз):
1) егер болса, онда жай түбіріне сәйкес жай бөлшегі қосындысының қосылғышы болады;
2) егер болса, онда жай бөлшегі -тің қосылғышы болады да, жай бөлшектерінің интегралдары (11) бойында дұрыс бөлшек болып, - тің қосылғышы болады;
3) егер болса, онда жай бөлшегі -тің қосылғышы болады;
4) егер болса, онда әрбір үшін жай бөлшегі интегралының (4) теңдігінің жағындағы дұрыс бөлшегі -тің қосылғышы болады да, ал сондағы бөлшегі -тің қосылғышы болады. және қосындыларының аталғаннан басқа қосылғыштары жоқ.
Сонымен, біріншіден, дұрыс бөлшектердің қосындысы да дұрыс бөлшек болатындықтан, пен дұрыс бөлшек болады; екіншіден қосындысының әрбір қосылғышының интегралы (1) және (2) бойынша логарифм не логарифм мен арктангестің қосындысы болғандықтан - рационал бөлшек емес. Сол себептен - рационал бөлшегін интегралының рационал бөлігі деп атайды. (6) теңдігі Остроградский формуласы деп аталады.
Анықталмаған интегралдың анықтамасын ескере отырып,(6) теңдігінің екі жағын да дифференциалдасақ,онда
(7)
теңдігіне келеміз. Бұдан, және көпмүшеліктерін анықталмаған коэффициенттер әдісімен табуға болады, демек, Остроградский формуласының оң жағындағы рационал (алгебралық) бөлігі деп аталатын бірінші қосынды таза алгебралық жолмен табылады. Екінші қосындыдағы интеграл астындағы рационал бөлшек бөлімінің канондық түріндегі көбейткіштер бірінші дәрежелі болады. Сондықтан соңғы интегралды тапқанда жүргізілетін есептеулердің көлемі алғашқы интегралды тікелей, яғни (7) формуласын қолданбай тапқанда жүргізілетін есептеулердің көлеміне қарағанда әлдеқайда шағын.
Сонымен, Остроградский формуласы бойынша бөлімінің кейбір түрлері еселі болатын кез келген дұрыс рационал бөлшекті интегралдау мәселесін таза алгебралық жолмен бөлімінің түбірлері жай болатын дұрыс рационал бөлшекті интегралдау мәселесіне келтіруге болады.
Бұдан мынадай қорытынды шығады: Остроградский формуласы бойынша интегралының рационал бөлігін көпмүшелігінің түбірлерін білмей-ақ табуға болады. Расында да, көпмүшелігін Евклид алгоритмі арқылы тауып, көпмүшелігі Остроградский формуласының салдары болатын (бұл (23) теңдігігің басқаша жазылуы): теңдігінен -тің түбірлерін білуді керек есептейтін анықталмаған коэффициенттер әдісі арқылы табылады (мұнда, әрине . Сонымен бірге, интегралын, -тің канондық жіктелуін білгеннен кейін ғана таба аламыз, ал өзге жағдайларда ол тек жуықтап қана табылады.
|
