Эссе жазықтықтағы екінші ретті қисықтар Негізгі ұғымдар

 

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0

(1)

2-ші дәрежелі теңдеуімен анықталатын сызықты қарастырайық. Теңдеудің коэффициенттері – нақты сандар, олардың ішіндегі А, В және С ең болмағанда біреуі нөлге тең емес. Мұндай сызықтарды екінші ретті сызықтар (қисықтар) деп аталады. Кейінірек (1) теңдеуі шеңбер, эллипс, гипербола және параболаның анықтайтынын қарастырамыз. Бұл ұйғарымда нақтылау үшін ең алдымен айтылған қисықтардың қасиетін қарастырайық.

 

Екінші ретті қисықтардың ішіндегі ең қарапайым қисық – шеңбер. Радиусы R, центрі M₀ нүктесінде болатын шеңбер деп M₀M=R шартын қанағаттандыратын, жазықтықтың барлық M нүктелер жиынын айтатынын еске салайық. Тікбұрышты координаталар жүйесінде M₀ нүктесінің координаталары  x₀, y₀ болсын, ал  M(x, y)-шеңбердің бойынан алынған кез-келген нүкте (10.1-суретті қара).

	1–сурет–Шеңбер

Онда  =R шартынан келесі теңдікті аламыз

(2)

(3)

 

Эллипстің канондық теңдеуі

Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтарының қосындысы әрқашан тұрақты шама болатын нүктелердің геометриялық орындарын эллипс деп аталады.

 

	2 –сурет–  F1 және F2 фокустары

 

F₁ және F₂ арқылы фокустарын, ал олардың арақашықтығын 2с, ал қалауымызша алынған нүктеден фокусқа дейінгі арақашықтықты 2a деп белгілейік. Анықтама бойынша 2a 2c , яғни  a c. Эллипстің теңдеуін қортып шығару үшін Oxy координаталар жүйесін аламыз, яғни  F₁ және F₂ фокустары Ox осінде жататын, ал координаталар басы F₁F₂  кесіндісінің ортасына сәйкес келетіндей етіп аламыз. Сонда эллипстің фокустарының координаталары F₁(-c; 0) және F₂ (c; 0)  болады.

M(x, y)- эллипстің кез-келген нүктесі болсын. Онда эллипстің анықтамасы бойынша , яғни

(5)

		(6)
	+=4++	(7)
		(8)
		(9)
	(a2-c2)x2+a2y2= a2 (a2-c2)	(10)

2 

(13)

(14)

немесе

(15)

және

(16)

 

	3 –сурет– Эллипс

 

 түзулері эллипстің директрисалары деп аталады.