Комплекс сандар
жүктеу/скачать 1,17 Mb.
|
Комплекс сандар
- Бұл бет үшін навигация:
- КОМПЛЕКС САНДАР.
|
Н.Нұрмақов атындағы №2 мамандандырылған облыстық дарынды балалар мектеп-интернаты КОМПЛЕКС САНДАР ұғымы (мектепішілік ғылыми-практикалық конференцияға ұсынылады.) Орындаған: 8-сынып оқушысы Айтжан Темирлан Қарағанды қаласы – 2010 ж. КОМПЛЕКС САНДАР. Комплекс сандар алгебралық теңдеулерді шешу негізінде пайда болды. Комплекс сан деп z=a+bi түріндегі санды айтамыз, мұндағы a және b –нақты сандар, ал i –жорамал бірлік, i2=–1. a комплекс санның нақты бөлігі, b –оның жорамал бөлігі. Re(z)= a, Im(z) = b - комплекс сандар жиыны. Әрбір нақты сандар комплекс сан деп қабылдауға болады, себебі, үшін . Комплекс сандар жиыны нақты сандар жиынының кеңеюі . z=a+bi және =a–bi өзара түйіндес сандар деп аталады z1=a+bi және z2=c+di cандары тең Комплекс сандарының қосындысы комплекс сан болады. Қосудың қасиеттері: "z1,z2,z3C үшін (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3), $0C, "zC , z+0=0+z=z , "zC, $ –zC, z+(–z)=(–z)+z=0 , "z1,z2C; z1+z2=z2+z1 . Комплек сандардың көбейтіндісі комплекс сан. z=z1×z2=(a+bi)×(c+di)=(ac–bd)+(bc+ad)i. Көбейтудің қасиеттері: "z1,z2,z3C (z1×z2)×z3=z1×(z2×z3) (ассоциативті), $1C, "zC, z×1=1×z=z (1=1+0×i), "zC, $ z-1C, z×z-1=z-1×z=1 (z=a+bi және z-1= 1/z=(a/(a2+b2))+((–b)/(a2+b2))i), "z1,z2C, z1×z2=z2×z1 (коммутативті). Қосу мен көбейту амалдары дистрибутивтілік заңымен байланысқан . Комплекс сандардың бөліндісі комплекс сан, Комплекс сандардың геометриялық мағынасы және тригонометриялық түрі. Комплекс сандарды координат жазықтығының көмегімен жазықтықтың нүктелері ретінде өрнектеуге болады. Ox - осінің бойына комплекс санның нақты бөлігін (a=a+0∙i), ал Oy осінің бойына оның жорамал бөлігін орналастырсақ (bi=0+bi) жазықтықта әрбір комплекс сан z(a,b) нүктесі түрінде анықталады. тік бұрышты ïzï r=ïzï= . z=a+bi=r(cosφ+isinφ)- комплекс санның тригонометриялық түрі. =r - комплекс санның модулі . -комплекс санның аргументі. Тригонометриялық түрдегі комплекс сандарға амалдар қолдану өте жеңіл. Айталық, z1=r1(cosφ1+isinφ1), z2=r2(cosφ2+isinφ2) болсын. Онда Егер болса, онда Муавр формуласы Комплекс саннан nші дәрежелі түбір табу және 1 ден табылған түбірлердің группасы. Айталық, а=r(cos +isin ) комплекс саны берілсін. Онда жоғарыда қарастырылған көбейту амалының негізінде n- натурал саны үшін яғни комплекс санды дәрежелегенде оның модулі сол дәрежеге шығарылады, ал аргументі сол дәреже көрсеткішіне көбейтіледі. теңдігін пайдаланып , Муавр формуласын бүтін теріс сандар үшін де пайдалануға болады. a=a+bi комплекс санын оң бүтін n дәрежеге шығару үшін Ньютонның биномын пайдаланған орынды, тек ескерсек жеткілікті. Муавр формуласының дербес түрін қарастырайық. cos n Теңдіктің оң жақ бөлігіне Ньютонның биномды формуласын қолданайық. Мұндағы теңдігінің сол және оң жақ бөліктерін салыстырсақ, теңдіктерін аламыз. Сонымен, , мұндағы ға әртүрлі мәндер беру арқылы түбірдің әртүрлі мәндерін аламыз. Қортынды. Комплекс сандардан n - ші дәрежелі түбірді әрқашан табуға болады және оның әртүрлі n мәні болады. Комплекс айнымалысының функциялары 1 Комплексті сандар 1.1 Алгебралық пішінде берілген комплекс сандарға амалдар қолдану түрінде берілген сан, алгебралық пішінде берілген комплекс сан деп аталады. Мұндағы х және у нақты сандар, ал . х және у сандары сәйкесінше комплекс санының нақты және жорамал бөліктері деп аталып белгіленеді. Комплекс сандардың нақты бөліктері мен нақты бөліктері, жорамал бөліктері мен жорамал бөліктері тең болса, онда комплекс сандар тең болады. Ал комплекс сандардың нақты бөліктері тең болып, жорамал бөліктерінің тек таңбалары қарама-қарсы болса, онда ондай комплекс сандар түйіндес комплекс сандар деп аталады. Егер комплекс сан болса, онда оған түйіндес комплекс сан арқылы белгіленеді. Комплекс сандарға қолданылатын алгебралық амалдар келесі формулалар арқылы анықталады , , . (1) комплекс санының және бөліктерін және оның түйіндесі арқылы келесі формулаларды өрнектеуге болады . 1-мысал. , берілген. табу керек. Шешуі. , , , . 2-мысал. есептеп, және жазу керек. Шешуі. бұдан , . 3-мысал. теңдеуінің нақты түбірлерін табу керек. Шешуі. Теңдеудің сол жағының нақты және жорамал бөліктерін бөліп аламыз: . Екі комплекс сандарының теңдігінен Бұл жүйенің түбірі . 4-мысал. болатындығын көрсету керек. Дәлелдеуі. Анықтамасы бойынша . 1. берілген. табу керек. 2. берілген. есептеп оның нақты және жорамал бөліктерін табу керек. 3. Келесі амалдарды орындау керек: а) ; б) ; в) . 4. теңдеуінің нақты түбірлерін табу керек. 5. теңдеуінің нақты түбірлерін табу керек. 6. , мұнда , теңдеуінің нақты түбірлерін табу керек. 7. санының алгебралық пішінін табу керек. 1.2 Комплекс сандардың геометриялық кескіні және тригонометрия-лық, көрсеткіштік пішіндері Кез келген комплекс санын координатасы болатын ХОУ жазықтығының нүктесі немесе басы нүктесі, ал соңы нүктесі болатын вектор түрінде кескіндеуге болады. Сонда санын осы нүктенің аффиксі деп, комплекс сандар жазықтығындағы абсциссалар осін нақты ось, ординаталар осін жорамал ось деп атайды. 1-сурет.
мұндағы аргументтің бас мәні деп аталып, аралығында анықталады (2) Аргументтер үшін келесі ара қатынастар орындалады . 1-суреттен декарттық системамен полярлық системаның арасындағы байланыс формулалары арқылы анықталатындықтан комплекс санын былайша жазуға болады (3) Бұл теңдіктің оң жағы комплекс санның тригонометриялық пішіні деп аталады. Кез келген комплекс санының көрсеткіштік пішіні , мұндағы ; (4) түрінде жазылады. 5-мысал. комплекс санының тригонометриялық және көрсеткіштік пішіндерін жазу керек. Шешуі. . Сондықтан . 6-мысал. комплекс санының тригонометриялық және көрсеткіштік пішіндерін жазу керек. Шешуі. . . Демек, . 7 -мысал. және сандарын комплекс жазықтығында кескіндеп, аргументтерін табу керек. Шешуі.
8 -мысал. комплекс сандарының айырымының модулінің геометриялық мағынасын анықтау керек. Шешуі. бұл және нүктелерінің арасындағы қашықтық. 9 -мысал. теңдеуімен берілген сызықты анықтап оның графигін салу керек. Шешуі. -екі нүктенің арасындағы қашықтық болғандықтан теңдеуімен берілген центрі 1-і нүктесі болатын радиусы 2-ге тең шеңбер шығады. У
Х 1 -1 3-сурет 10-мысал. теңсіздіктерімен шенелген нүктелердің жиынын анықтау керек. Шешуі. Іздеп отырған жиынымыз екі шартты бірдей қанағаттандыру керек: және . Бірінші теңсіздік центрі 1-і нүктесі болатын радиусы бірге тең дөңгелектің сырты болса, ал екінші теңсіздік центрі 1-і нүктесі болатын радиусы 3-ке тең дөңгелек болады. Сондықтан іздеп отырған жиынымыз центрлері 1-і нүктесі болатын радиустары іштен 1-мен, ал сыртынан 3-пен шенелген дөңгелек болады (4-сурет). У
0 1 Х -1
4-сурет
Шешуі. Аргумент пен -ң арасында мән қабылдайтындықтан іздеп отырған бұрышымыз: және сәулелерінің арасында жатады. Сәулелердің өзі бұл жиынның құрамына кірмейді. 8. Келесі сандардың тригонометриялық және көрсеткіштік пішіндерін жазу керек . Келесі теңдеулерді қанағаттандыратын комплекс жазықтығында жататын нүктелердің жиынын анықтау керек.
Келесі теңсіздіктерді қанағаттандыратын нүктелердің жиынын анықтау керек.
1.3 Тригонометриялық пішінде берілген комплекс сандарға амалдар қолдану. Комплекс сандардың модульдерінің қасиеттері және комплекс сандарының тригонометриялық пішіндері , . Олардың көбейтіндісі келесі формуламен табылады яғни комплекс сандарды көбейткенде олардың модульдері көбейтіледі, ал аргументтері қосылады , . және комплекс сандарының бөліндісі (6) формуласымен анықталады, яғни , . Тригонометриялық пішінде берілген комплекс санының натуралдық - дәрежесі (7) формуласымен анықталады, яғни , Бұл формуладан Муавр формуласы шығады (8) Кез келген -тің натурал - дәрежелі түбірінен әр түрлі мәндер табылады. Олар келесі формуламен анықталады , (9) мұндағы ал . -ң бұл мәндеріне центрі координаттың бас нүктесі, радиусы болатын шеңберге іштей сызылған дұрыс бұрышты көпбұрыштың төбелеріндегі нүктелер сәйкестендіріледі. Кез келген нақты санының дәрежелі түбірінен де әртүрлі мәндер табылады. Бұл мәндердің ішінде -ң жұп немесе тақ және -ң таңбасына байланысты, нақты мәндер екеу, біреу немесе болмауы мүмкін. Комплексті сандардың модульдерінің қасиеттері.
12-мысал. есептеу керек. Шешуі. ; Яғни . Демек, (7) -формуланы қолдансақ . 13-мысал. комплекс санының 3-дәрежелі түбірін табу керек. Шешуі. ; яғни . Демек, (9) -формуланы қолдансақ ,. . Сондықтан , . 25. Есептеу керек: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . Келесі есептердің түбірлерінің барлық мәндерін табу керек: 26. а) ; б) ; в) ; г) . 27. а) ; б) ; в) . 28. . 29. теңдеуімен комплекс жазықтығындағы қандай қисық анықталады ? 2 Комплекс айнымалысының функциялары Егер D жиынының кез келген Z элементіне Е жиынының бір немесе бірнеше элементі белгілі бір ереже бойынша сәйкес келсе, онда D жиынында функция берілді деп есептелінеді де, оны былай белгілейді: мұндағы D жиыны функцияның анықталу облысы деп, ал Е жиыны функцияның мәндерінің облысы немесе D жиынының бейнесі деп аталады. және болса, онда комплексті функциясымен комплексті айнымалысының арасындағы тәуелділік , екі нақты х және у айнымалыларының нақты және функциялары арқылы анықталады . 1-мысал. функциясының нақты және жорамал бөліктерін табу керек. Шешуі. , деп алсақ . Яғни Келесі функциялардың нақты және жорамал бөліктерін табу керек: 30. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Келесі есептерде берілген нүктелердің бейнелерін табу керек. 31. а) ; б) ; в) . Қисық жазықтығында теңдеуімен берілсін. Осы қисықтың функциясымен анықталатын жазықтығындағы теңдеуімен анықталатын бейнесін табу үшін жүйесінен мен -ның қатынасын анықтайтын теңдеуді анықтау керек: Егер қисық параметрлік теңдеулері арқылы берілсе: немесе онда функциясымен анықталатын оның бейнесі параметрлік теңдеулері болады. 2-мысал. шеңберінің функциясымен анықталатын жазықтығындағы бейнесін анықтау керек. Шешуі. болғандықтан, . Сонымен шеңберінің бейнесі жазықтығында радиусы 9-ға тең екі айналатын шеңбер болады. Бұл болатындығынан шығады. Сондықтан жазықтығындағы нүкте толық шеңберін сызғанда оның бейнесі шеңберін екі айналып шығады. 3-мысал. шеңберінің функциясымен анықталатын жазықтығындағы бейнесін анықтау керек. Шешуі. Бұл теңдеуді түрінде жазуға болады. Алғаш функциясының нақты және жорамал бөліктерін бөліп аламыз: . Сондықтан . Бұл функциялардың құрамындағы х пен у-ң орындарына мәндерін қойсақ немесе . Сонымен радиусы -ге тең шеңбердің бейнесі радиусы 1-ге тең екі айналатын шеңбер болады. Ол , және теңдеуінен шығады. 32. жазықтығында анықталатын келесі қисықтардың функциясымен анықталатын жазықтығындағы бейнесін анықтау керек: а) ; б) ; в) ; г) . Комплекс айнымалысының негізгі элементар функциялары. 2.1 Бөлшек-рационал функция: : оның дербес жағдайы көпмүшелік болады. 2.2 Экспоненциялық функция Комплекс айнымалылы экпоненциялық функциясы , (1) немесе , (2) арақатынастарымен анықталады. функциясының қасиеттері: а) , мұндағы және кез келген комплекс сандар; б) ; яғни функциясы периоды -ге тең периодты функция. 2.3 Тригонометриялық функциялар және функциялары (3) (4) арақатынастарымен анықталады. Бұл дәрежелік қатарлар комплекс жазықтығында абсолютті жинақты. Бұл функциялардың периодтары -ге, ал нөлдері сәйкесінше және , мұндағы ; нүктелерінде ғана болады. және функциялары үшін Эйлер формуласы орындалады , (5) бұдан . (6) және функциялары келесі теңдіктермен анықталады: , . (7) Тригонометриялық функциялар үшін тригонометрияның барлық формулалары сақталады. Ескерту. Комплекс жазықтығында тригонометриялық синуспен тригонометриялық косинустың модульдері шектелмеген болады. 2.4 Гиперболалық функциялар Гиперболалық синус және гиперболалық косинус функциялары келесі формулалармен анықталады , , (8) ал , . (9) Комплекс айнымалы гиперболалық функциялар арасында төмендегі теңдіктер орындалады , (10) 2.5 Тригонометриялық функциялармен гиперболалық функциялардың арасындағы қатынастар , , , , , , , , , , , . 2.6 Логарифмдік функция Көрсеткіштік функциясына кері функция логарифмдік функция деп аталады да, арқылы белгіленеді. Көрсеткіштік функция нөлге тең емес және көп мәнді болғандықтан функциясы да көп мәнді әрі нүктелерінде анықталған функция болады да, (11) формуласымен анықталады. Бұл функцияның болғандағы мәні оның бас мәні деп аталады да, арқылы белгіленеді. Сонымен , мұндағы . (12) Бұдан Логарифмнің негізгі қасиеттері 2.7 Кері тригонометриялық функциялар Тригонометриялық функциялар көрсеткіштік функция арқылы анықталатындықтан кері тригонометриялық функциялар логарифмдік функция арқылы өрнектеледі. Сондықтан олар бүкіл комплекс жазықтығында анықталатын көп мәнді функциялар болады. , (13) , (14) , (15) . (16) Кері тригонометриялық функциялардың бас мәндері олардың сәйкес логарифмдік функцияларының бас мәндерін алғаннан шығады. 2.8 Кері гиперболалық функциялар болғандықтан . Бұл квадраттық теңдеудің шешуі . Демек, . (17) Осылайша . (18) Логарифмдік функция көпмәнді болғандықтан кері гиперболалық функциялар көп мәнді функциялар болады. 2.9 Жалпы дәрежелік функция кез келген тұрақты комплекс сан болса, функциясы жалпы дәрежелік функция деп аталады да, (19) теңдеуімен анықталады. Бұл көпмәнді функция. Оның бас мәні келесі теңдеумен анықталады. 2.10 Жалпы көрсеткіштік функция , мұндағы кез келген тұрақты комплекс сан, көрсеткіштік функциясы төмендегі теңдеумен анықталады: . (20) Бұл көп мәнді функцияның бас мәні теңдеуімен анықталады. 4-мысал. көрсеткіштік функциясының мәнін табу керек. Шешуі. . 5-мысал. функциясының мәнін табу керек. Шешуі. 6-мысал. Төмендегі функциялардың мәндерін табу керек: а) ; б) ; в) ; г) 7-мысал. функциясының нүктесіндегі модулін табу керек. Шешуі. болғандықтан . Ал Яғни . Бұл мысал функциясының модулі комплекс облысында бірмен шектелмейтіндігін көрсетеді. 8-мысал. теңдеуінің түбірлерін табу керек. Шешуі. немесе . Бұл қарағанда квадрат теңдеу. Оның түбірлері . Соңғы теңдікті логарифмдейміз: . 33. функцияларының мәндерін есептеу керек. Келесі функциялардың нақты және жорамал бөліктерін бөліп алу керек. 34. а) ; б) ; в) . 35. а) ; б) ; в) . 36. а) ; б) ; в) . 37. а) ; б) . Келесі сандардың логарифмдерін табу керек. 38. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Келесі функциялардың мәндерін табу керек. 39. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Келесі теңдеулерді шешу керек.
3 Комплексті сандар тізбегінің шегі. Комплексті айнымалы функциялардың шегі және үзіліссіздігі. Комплекс сандар тізбегі берілсін , , ..., ,... 1-анықтама. Егер кез келген оң санына байланысты саны табылып, тізбектің мүшелері үшін теңсіздігі орындалса, онда комплекс саны тізбегінің шегі деп аталады да түрінде жазылады. Әрбір комплексті сандар тізбегіне екі және нақты сандар тізбегі сәйкес келеді, мұнда 1-теорема. болғанда ғана тізбегі санына жинақталады. 2-анықтама. Егер тізбегінің барлық элементтері үшін, оң M саны табылып теңіздігі орындалса, онда тізбек шенелген болады. 2-теорема. Барлық жинақты тізбектер шенелген болады. Жинақты комплексті сандар тізбектерінің қасиеттері. Егер және болса, онда 1. . 2. . 3. . Мысал 1. , тізбегінің шегі болатындығын дәлелдеу керек. Шешуі. Кез келген саны берілсін. болғанда, тексіздігі орындалатын нөмірі табылатындығын көрсетеміз болғандықтан, теңсіздігінен теңсіздігін аламыз. Яғни деп алуға болады. Мұндағы символы нақты санының бүтін бөлігі. Комплексті сандар тізбектерінің жинақтылығының жеткілікті шарты. , болатын комплексті сандар тізбегі берілсін. Егер , болса, онда Мысал 2. , тізбегінің жинақсыз болатындығын дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі. Сондықтан тізбегінің шегі жоқ. комплексті сандар тізбегі берілсін. Егер кез келген үлкен оң М саны үшін N натурал саны табылып, нөмірлері болатын тізбегінің мүшелері үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегі шексіздікке жинақталады да, түрінде жазылады. Комплекс айнымалысының жазықтығын нүктесімен толықтырғанда шығатын жазықтық, кеңейтілген комплекс айнымалысының жазықтығы деп аталады. теңсіздігін қанағаттандыратын барлық нүктелерінің жиыны шексіз (ақырсыз) қашықтықтағы нүктенің аймағы деп аталады. 46. , тізбегінің шегі болатындығын дәлелдеу керек. 47. . 48. . 49. . 50. . 3-анықтама. теңсіздігін қанағаттандыратын барлық нүктелерінің жиыны нүктесінің -аймағы деп аталады. функциясы нүктесінің S аймағында анықталсын. 4-анықтама. Егер алдын-ала берілген кез келген санына және нүктесіне байланысты саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын нүктелер үшін теңсіздігі орындалатын болса, онда тұрақты А санын функциясының шегі деп атайды да, оны былай белгілейді . (2) 5-анықтама. Егер алдын-ала берілген кез келген санына және нүктесіне байланысты саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын нүктелер үшін , (3) теңсіздігі орындалатын болса, функциясын облысының нүктесінде үзіліссіз деп атайды. Яғни . (4) 6-анықтама. Егер комплекс айнымалысының функциясы оның анықталу облысының әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда ол осы облыста үзіліссіз функция деп аталады. облысында үзіліссіз болатын және функцияларының қосындысы, айырымы және көбейтіндісі де үзіліссіз функциялар болады. Ал функциясы облысының нүктелерінде үзіліссіз болады. Егер функциясы нүктесінде, функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, онда күрделі функциясы нүктесінде үзіліссіз болады. Мысал. функциясының -ң кез келген мәнінде үзіліссіз болатындығын көрсету керек. Шешуі. Кез келген нүктесімен санын аламыз. болғандықтан, саны табылып болғанда, болғандығын көрсету керек. Егер , онда саны табылып, және . Сонда . Егер деп алсақ, онда теңсіздігімен теңсіздігін аламыз. Яғни кез келген үшін функциясы үзіліссіз болады. Келесі функциялардың барлық комплекс жазықтығында үзіліссіз болатындығын дәлелдеу керек.
4 Комплекс айнымалы функцияларды дифференциалдау. Коши-Риман шарттары. W=f(z) функциясы комплекс жазыќтыѓыныњ Д облысында аныќталсын. Z жєне z+z осы облыстыњ н‰ктелері болсын. W=f (z+z)-f (z), z = x+iy деп алайыќ. 1-аныќтама. Егер бар болса, онда б±л шекті f(z) функциясыныњ z н‰ктесіндегі туындысы деп атайды да он f1(z) символымен белгілейді. Яѓни f1(z) =w1. (1) Егер z=x+iy, w=f(z)=u(x, y)+i (x,y) болса, онда f (z) функциясыныњ дифференциалданатын єрбір н‰ктесінде (2) ќатынастары орындалады. Осы қатынастар Коши-Риман шарттары деп аталады. 2-аныќтама. Егер w=f(z) функциясы z н‰ктесінде жєне оныњ аймаѓында дифференциалданатын функция болса, онда ол осы н‰ктеде аналитикалыќ функциясы деп аталады. Д облысыныњ кез келген н‰ктесінде дефференциалданатын w=f(z) функциясы осы облыста аналитикалыќ деп аталады. Кез келген аналитикалыќ функция ‰шін f I(z) = . (3) Бір мєнді комплекс айнымалыны функцияныњ аналитикалыќ н‰ктелерін єдетте ол функцияныњ т±раќты немесе д±рыс н‰ктелері деп атайды. Ал аналитикалыќ емес н‰ктелерін ол функцияныњ ерекше н‰ктелері дейді. 1-мысал. Sin2z функциясыныњ комплекс жазыќтыѓында аналитикалыќ функция болатындыѓын кµрсетіп, оныњ туындысын табу керек. Шешуі. Sin2z функциясыныњ наќты жєне жорамал бµліктерін аныќтаймыз Сондыќтан Re Sin2z= u(x,y) = Sin2xch2y, Jm Sin 2z = (x,y)=Cos2xSh2y. Осы функциялардыњ дербес туындыларын есептейміз Б±дан болатындыѓын, яѓни Коши-Риман шарттарыныњ х жєне у-њ барлыќ мєндерінде орындалатындыѓын кµреміз. Сондыќтан Sin2z функциясы комплекс жазыќтыѓында аналитикалыќ функция болады. Б±л функцияныњ туындысы (Sin2z)´=2cos2xch2y-i2Sin2xSh2y=2(cos2xcosi2y-Sin2xSini2y)= 2cos(2x+i2y)=2cos2z. 2-мысал. функциясы болмаѓанда бір н‰ктеде аналитикалыќ функция бола ма? Шешуі. яѓни U(x,y)=x2+y2, Б±л жаѓдайда Коши-Риман шарттарынныњ т‰рі болады да, тек (0,0) н‰ктесінде ѓана орындалады. Сондыќтан функциясы тек z=0 н‰ктесінде ѓана дифференциаланады да, комплекс жазыќтыѓыныњ ешбір н‰ктесінде аналитикалыќ функция болмайды. Ендігі жерде аныќтаманы пайдалана отырып, f(z)= функциясын z=0 н‰ктесінде дифференциалдауѓа болатындыѓын кµрсетеміз: f(0)=0 болады. Сондыќтан ал яѓни fi(0) бар, єрі ол нµлге тењ. 3-мысал. функциясыныњ аналитикалыќ облысын аныќтау керек. Шешуі. fI(z)=1, f2(z)=z2+4 функциялары барлыќ комплекс жазыќтыѓында аналитикалыќ функциялар болѓандыќтан, олардыњ ќатынасында бµлімі нµлге тењ н‰ктелерден басќа н‰ктелерде аналитикалыќ функция болады: z2+4=0, яѓни z1=2i, z2=-2i н‰ктелерінде функциясы аналитикалыќ болмайды. Келесі функциялардыњ комплекс жазыќтыѓында аналитикалыќ функциялар болатындыѓын дєлелдеу керек: 54. . 55. e3Z. 56. z2+5z-7. 57. Cos(iz-1). 58. sh3z. Келесі есептерде берілген функциялардыњ аналитикалыќ облыстарын аныќтау керек: 59. tg2z. 60. ctgz/2. 61. . 62. . Егер аналитикалыќ f(z) функциясыныњ наќты U(x,y) немесе жорамал бµлігі белгілі болса, онда Коши-Риман шарттарын пайдалана отырып б±л функцияныњ белгісіз бµлігін аныќтауѓа болады. Сонымен ќатар z0 н‰ктесініњ аймаѓанда аналитикалыќ f(z0)=C0 болатын функцияны, оныњ тек наќты немесе жорамал бµлігі белгілі болѓан жаѓдайда немесе келесі формулалар арќылы да аныќтауѓа болады: f(z)=2u( (4) f(z)=2i ( (5) М±ндаѓы сєйкесінше С0, Z0 сандарына т‰йіндес сандар. 4-мысал. Ref(z)=x2-y2+x єрі f(0)=2i болатын аналитикалыќ функцияны табу керек. Шешуі. U(x,y)=x2-y2+x, (x,y) функциялары Коши-Риман шарттарын ќанаѓаттандыру керек: . Б±л шарттардан Бірінші тењдеуді, х-ті т±раќты деп алып, у бойынша интегралдасаќ Біраќ болѓандыќтан С1(х)+2у=2y, немесе С1(х)=0. Б±дан С(х)=C. Сондыќтан яѓни Т±раќты С-ны f(0)=2i шарты арќылы табуѓа болады f(0)=iC=2i, б±дан С=2. Жауабы f(z)=z2+z+i2. Екінші жолы. (4) - формуланы ќолданамыз. Біздіњ мысалда U(x,y)=x2-y2+x, z0=0, C0=2i. Яѓни z0 н‰ктесініњ аймаѓанда аналитикалыќ болатын, f(z) функциясын оныњ белгілі наќты немесе жорамал бµлігі жєне f(z0) арќылы аныќтау керек 63. 64. , 65. , 66. 67. 5 Комплекс айнымалы функцияларды интегралдау ХОУ жазыќтыѓыныњ Д аймаѓында бірмєнді ‰зіліссіз f(z) функциясы аныќталсын, ал Г осы аймаќта жататын бµлік-жатыќ ќисыќ болсын. Осы шарттар орындалѓанда (1) формуласымен аныќталады. Б±л µрнектегі соњѓы тењдік 2-текті ќисыќ сызыќты интеграл . Егер Г ќисыѓы параметрлік тењдеуімен берілсе, онда (2) м±ндаѓы Егер бір байланысты Д аймаѓында f(z) аналитикалыќ функция болса, онда осы аймаќта жататын z0 жєне z н‰ктелері ‰шін (3) Ньютон-Лейбниц формуласы орындалады. Егер бірбайланысты Д аймаѓанда f(z) жєне (z) аналитикалыќ функциялар болса, онда осы аймаќтыњ кез-келген z0 жєне z1 н‰ктелері ‰шін (4) бµліктеп интегралдау формуласын ќолдануѓа болады. Егер интегралдау жолы z0 н‰ктесінен шыѓатын сєуле, немесе центрі z0 н‰ктесі болатын шењбер болса, онда айнымалыны ауыстыру ‰шін z-z0= ei (5) формуласын пайдаланѓан д±рыс. М±нда бірінші жаѓдайда ал - интегралдаудыњ наќты айнымалысы; екінші жаѓдайда ал -интегралдыњ наќты айнымалысы . Коши-теоремасы. Егер бірбайланысты Д аймаѓанда W=f(z) аналитикалыќ функция болса, онда сол аймаќтаѓы т±йыќ Г контуры бойынша алынѓан интеграл нольге тењ болады, яѓни . (6) Коши теоремасы /кµпбайланысты аймаќ ‰шін/. Кµпбайланысты Д аймаѓыныњ саѓат стрелкасыныњ баѓытына ќарсы баѓытталѓан Г сыртќы контуры Г1, Г2,…,Гn ішкі контурлары болса, одан єрі w=f(z) осы аймаќта аналитикалыќ функция болѓанда (7) орындалады. Теорема. Егер контуры Г т±йыќ бірбайланысты аймаѓында w=f(z) аналитикалыќ функция болса, онда (8) яѓни Д аймаѓында жататын кез келген z0 н‰ктесіндегі функция мєні f(z0), сол функцияныњ контуры бойынша алынѓан интегралы арќылы табылады. Осы формуланы Кошидіњ интегралдыќ формуласы, ал оныњ оњ жаѓын Кошидіњ интегралы деп атайды. Теорема. Егер контуры Г т±йыќ Д аймаѓында, f(z) аналитикалыќ функция болса, онда Д аймаѓында жататын кез келген z0 н‰ктесінде ол функцияныњ кез келген ретті туындысы f(n)(z0) (n=1,2,…) бар болады жєне ол туындылар мына формуламен табылады (9) м±нда z0Д, zГ. 1-мысал. z1=0 жєне z2=1+i н‰ктелерін ќосатын сызыќтардыњ бойымен интегралын есептеу керек: а) т‰зудіњ бойымен; б) у=x2 параболасыныњ бойымен. Шешуі: болѓандыќтан /I/-формуланы пайдалансаќ а) z1=0 жєне z2=1+i н‰ктелері арќылы µтетін т‰зудіњ тењдеуі y=x, 0≤x≤1 болѓандыќтан dy=dx. Сондыќтан б) у=x2 параболасы ‰шін dy=2xdx, 0≤x≤1. Сондыќтан 2-мысал. zA=0, zB=3, zC=2i н‰ктелерін ќосатын сызыќтыњ бойымен интегралын есептеу керек. Шешуі: Интеграл астындаѓы функциямыз аналитикалыќ функция болѓандыќтан интегралдыњ мєні интегралдау жолына байланысты болмайды. Сондыќтан интегралды АС кесіндісінде Ньютон-Лейбниц формуласын ќолданып есептеу ќажет. 3-мысал. Г: интегралын есептеу керек. Шешуі: Интегралдау жолы центрі z0=0 н‰ктесі болатын шењбер болѓандыќтан z-z0=ei формуласын пайдаланамыз. Сондыќтан яѓни 4-мысал. интегралын есептеу ќажет. Шешуі: контуры центрі z=-1, ал радиусы R=3 шењбер. Осы шењбердіњ ішінде интегралдыњ астындаѓы функция , н‰ктелерінен басќа н‰ктелерде аналитикалыќ функция болѓандыќтан центрлері жєне радиустары нольге жаќын /аз/ болатын Г1 жєне Г2 шењберлерін саламыз. Б±л шењбер дµњгелегініњ ішінде жатады /5-сурет/. 5-сурет Осы Г1, Г2, Г шењберлерімен шенелген ‰шбайланысты облыста интегралдыњ астындаѓы функциямыз аналитикалыќ функция болѓандыќтан кµпбайланысты Коши теоремасын пайдаланамыз. Яѓни , м±ндаѓы I-интегралѓа (9) формуланы пайдалансаќ 2-интегралѓа (8) формуланы пайдалансаќ Сонымен 6 Лоран ќатары Теорема. саќинасында бірмєнді жєне аналитикалыќ болатын функция осы аймаќта (z-z0)-діњ дєрежесі бойынша ќатарѓа жіктеледі: , (1) м±ндаѓы (2) ал Г-центрі z0 болатын єрі саќинаныњ ішінде жататын шењбер. Осы /I/-ќатар f(z) функциясыныњ Лоран ќатары деп, ал бірінші жєне екінші ќосылѓыштары сєйкесінше негізгі жєне д±рыс бµліктері деп аталады. Практикада Сn коэффициенттерімен Лоран ќатарына жіктелуін табу ‰шін, м‰мкін болѓан жаѓдайларда, элементар функциялардыњ белгілі Тейлор ќатарлары пайдаланылады (3) (4) (5) (6) (7) (8) I-мысал. функциясыныњ барлыќ Лоран ќатарларын /z-діњ дєрежесі бойынша/ табу керек. Шешуі: Б±л функцияныњ Лоран ќатарларын табу ‰шін оныњ ерекше н‰ктелерін табамыз: z1=1, z2=2. Сондыќтан центрі О н‰ктесі болатын 3 “саќинада” функция бір мєнді жєне аналитикалыќ функция болады: а) дµњгелек: |z|<1, б) саќина: 1<|z|<2, в) |z| 2 дµњгелегініњ сырты, яѓни 2<|z|<. . ; а) |z|<1 дµњгелегінде жіктейміз Б±л ќатар f(z) функциясыныњ |z|<1 дµњгелегіндегі Лоран ќатары болады. ¤йткені f1(z) функциясы |z|<2 дµњгелегінде, ал f2(z) функциясы |z|<1 дµњгелегінде жинаќты болады. б) 1<|z|<2 саќинасында жіктейміз. , м±нда ; б±л аймаќта алынѓан ќатар бірќалыпты жинаќты. Ал . Б±л жіктелу аймаѓында бірќалыпты жинаќты. Яѓни ќатары 1<|z|<2 саќинасында бірќалыпты жинаќты болады. в) 2<|z|< облысында жіктейміз. Б±л ќатар f(z) функциясыныњ 2<|z|< саќинасындаѓы Лоран ќатары. ¤йткені f1(z) жєне f2(z) функциялары сєйкесінше |z|>2 жєне |z|>1 аймаќтарында бірќалыпты жинаќты болады. 2-мысал. функциясын дµњгелегінде, н‰ктесініњ тµњірегінде, Лоран ќатарына жіктеу ќажет. Шешуі. f(z) функциясыныњ екі ерекше н‰ктесі болѓандыќтан Берілген функцияны -діњ дєрежесі бойынша Лоран ќатарына жіктейтіндіктен оны тµмендегіше т‰рлендіреміз Соњѓы µрнектіњ ќосылѓышына /5/-формуланы пайдалансаќ яѓни соњѓы µрнек берілген функцияныњ дµњгелегіндегі Лоран ќатары болады. 3-мысал. функциясын z=1 н‰ктесініњ тµњірегінде Лоран ќатарына жіктеу керек. Шешуі: Б±л функцияны Лоран ќатарына жіктеу ‰шін ќосындыныњ синусы формуласын пайдаланамыз: Соңғы өрнек берілген функцияның Лоран қатары. 7 Функцияның нөлдері. Оңашаланған ерекше нүкте функциясы нүктесінде аналитикалық функция болсын. нүктесі функциясының - ретті нөлі деп аталады, егер …, Егер болса, онда нүктесі жай нөл болып аталды. нүктесі функциясының - ретті нөлі болса, онда бұл нүктенің төңірегінде болады. Мұндағы функциясы нүктесінде аналитикалық функция әрі . Егер нүктесінің төңірегінде функциясы аналитикалық функция, ал нүктесінде аналитикалық емес функция болса, онда бұл нүкте функциясының оңашаланған ерекше нүктесі деп аталады. Егер нүктесінде функциясының ақырлы шегі бар болса, онда бұл нүкте функциясының жөнделетін ерекше нүктесі деп аталды. Егер болса, онда нүктесі функциясының полюсы деп аталады. нүктесі функциясының полюсы болу үшін бұл нүкте функциясының нөлі болуы қажетті әрі жеткілікті. Егер нүктесі функциясының - ретті нөлі болса, онда бұл нүкте функциясының - ретті полюсы деп аталады. болғанда, нүктесі жай полюс болады. Егер функциясын түріне келтіруге болса, онда нүктесі функциясының - ретті полюсы болады. Мұндағы функциясы нүктесінде аналитикалық функция, ал . Егер функциясының нүктесінде ақырлыда, ақырсыз да шегі жоқ болса, онда нүктесі осы функциясының елеулі ерекше нүктесі деп аталады. Функцияның ерекше нүктелерінің типтерін табу үшін мына төмендегі қорытынды бойынша іздеу керек: а) z0 нүктесі f(z0) функциясының жөнделетін ерекше нүктесі болу үшін f(z) функциясының z0 нүктесінің төңірегіндегі Лоран қатарының негізгі бөлігі жоқ болуы қажет әрі жеткілікті; б) z0 нүктесі f(z) функциясының полюсы болуы үшін f(z) фунциясының z0 нүктесінің төңірегіндегі Лоран қатарының негізгі бөлігі ақырлы мүшеден тұру қажет f(z) , негізгі бөліктегі -дің ең үлкен дәрежесі полюстің ретін көрсетеді; в) нүктесі функциясының елеулі ерекше нүктесі болу үшін функциясының нүктесінің төңірегіндегі Лоран қатарының негізгі бөлігі ақырсыз көп мүшеден тұруы қажет; 1-мысал. функциясының оңашаланған ерекше нүктелерін тауып, олардың типтерін анықтау керек. Шешуі: нүктесі берілген функцияның оңашаланған ерекше нүктесі болады. нүктесінде және функциялары аналитикалық функциялар. ; , , ; , ; , ; , ; , , болғандықтан нүктесі берілген функцияның ретті полюсы болады. 2-мысал. функциясы берілген. Оның ерекше нүктесі: . Осы нүктенің типін табу керек. Шешуі: ерекше нүктесін сипаттау үшін берілген функцияны -тің дәрежесі бойынша Лоран қатарына жіктейміз Бұл қатардың негізгі бөлігі жоқ . Яғни нүктесі жөнделетін ерекше нүкте. функциясын нүктесінде I-ге деп алсақ , онда
функциясы нүктесінде аналитикалық функция болады. 3-мысал. функциясының оңашаланған ерекше нүктелерін тауып, оларды сипаттау керек. Шешуі. , нүктелері берілген функцияның оңашаланған ерекше нүктелері. Бұл нүктелерді сипаттау үшін функциясын осы нүктелердің төңірегінде зерттеу керек. (Лопиталь ережесін пайдалансақ)= Яғни нүктесі жөнделетін ерекше нүкте. (Лопиталь ережесін қолдансақ)= Яғни нүктесі функциясының полюсы. Оның ретін анықтайық , ; , ; , ; , ; ; ; . Яғни нүктесі функцияның I-ретті полюсы болады. 8 Қалыңдылар және оларды интегралдарды есептеуде қолдану функциясының Лоран қатарының -нің бірінші теріс дәрежесінің коэфициентінің мәнін -тің ерекше нүктесі бойынша қалындысы деп атайды да, оны былай белгілейді . (1) Мұндағы тұйық контур функциясының аналитикалық облысының ішінде жатады әрі бұл контурдың ішінде -ның нүктесінен басқа ерекше нүктесі болмайды. Егер нүктесі фуекциясының жөнделетін ерекше нүктесі болса, онда . функциясының -ретті полюсіндегі қалынды (2) формуласымен анықталады. Егер болса, онда . (3) Егер бөлшек түрінде беріліп, нүктесі бөлімінің жай нөлі , ; ал болса, онда нүктесі -тің жай полюсы болар еді. Бұл жағдайда екі функцияның қатнасы түрінде берілген -тің қалындысы (4) теңдігімен табылады. Егер нүктесі функциясының елеулі ерекше нүктесі болса, онда қалынды (1)-формуламен есептеледі. Яғни функциясын нүктесінің аймағында Лоран қатарына жіктеу керек. Кошидің негізгі теоремасы. Контурды -тұйық аймағында аналитикалық функция -тің тек шектеулі санды ғана ерекше оңашаланған нүктелері бар болса, онда . (5) 1-мысал. интегралын есепте керек. Шешуі: Интеграл астындағы функцияның 3 ерекше нүктесі бар: , , ; контурының ішінде тек , жәй полюстары жатыр. Сондықтан (3) және (5) формулаларды қолданамыз ; ; . Демек, . 2-мысал. интегралын есептеу керек. Шешуі: контурының ішінде тек реті 3-ке тең полюсы жатыр. Сондықтан (2)-формула бойынша . Демек . 3-мысал. интегралын есептеңіз. Шешуі: Интеграл астындағы функцияның контурының ішінде жатқан бір ғана елеулі ерекше нүктесі бар. Функцияның осы елеулі нүктенің аймағындағы Лоран қатарын табамыз Яғни . Сондықтан жүктеу/скачать 1,17 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||