Принцип максимума задачи типа Бицадзе-Самарского
жүктеу/скачать 285 Kb.
|
1 2
Байланысты:Статья Джаманкараева М.А. ЮКГПИ Принцип максимума
|
УДК 517. 946 ОБ ОДНОМ ПРИНЦИПЕ МАКСИМУМА М.А. Джаманкараева Южно-Казахстанский государственный педагогический институт, г. Шымкент, Казахстан. Қорытынды Бұл мақалада Бицадзе-Самарский типті есебінің аралас типті теңдеу үшін бір максимумы принцип қарастырылған. Summary In this article the maximum principle of the Bicadze-Samarsky type problem for equations of mixed type is considered. Пусть - конечная область, ограниченная при гладкой кривой Жордана , оканчивающейся малыми дугами круговых луночек: , а при характеристиками уравнения . (1) Пусть , где , произвольная точка отрезка , а - характеристики уравнения (1). Задача BS. Найти решение уравнения (1) в области , удовлетворяющее условиям , , (2) , (3) где , , и - произвольное действительное число. Через обозначим подмножество функций из класса , ,удовлетворяющих краевым условиям (2) - (3) . Функцию , обращающую уравнение (1) в тождество, назовем регулярным решением задачи BS. Исследуем единственность решения задачи BS. Общее регулярное решение однородного уравнения (1) при представимо в виде , (4), где .Удовлетворив равенством (4) второму условию (2) и условию (3), соответственно имеем , , , . Так как , , из предыдущих соотношений получим , , (5) , , (6) Отсюда
, , (7) , . (8) Полагая , из (5)-(6) имеем , , (9) , . (10) Пусть регулярное решение однородного уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) -(3), достигает своего максимума на отрезке оси в точке . Этот максимум одновременно является максимумом его следа . Поэтому , что согласно формулам (7)-(8) равносильно , если и , если . Отсюда, на основании равенств (9)-(10) убеждаемся в том, что . По принципу Заремба-Жиро: если решение уравнения эллиптического типа, в частности, уравнения Лапласа, достигает своего максимума (минимума) на границе области , то производная по нормали . Поэтому, в случае задачи BS, решение уравнения не может достичь своего максимума (минимума) на , так как . Следовательно, максимум и минимум решения однородной задачи BS достигается только на . Поскольку , то экстремум (максимум и минимум) решения равен нулю в области .В силу единственности решения задачи Коши для волнового уравнения, получаем в .Следовательно в области . Тем самым доказана теорема. жүктеу/скачать 285 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2