Санның шығу тарихы
жүктеу/скачать 7,18 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Нақты сандар жиыны
- Бүтін сандар
- Рационал сандар
- Иррационал сан
- Нақты сандар
| САННЫҢ ШЫҒУ ТАРИХЫ
Сан ұғымы өте ерте заманда туған. Бұл ұғым ғасырлар бойы кеңейтіліп әрі жалпылана түскен. Өлшеулер жүргізу қажеттілігі оң рационал сандарға әкеп соқтырды.Теңдеулерді шешу теріс сандардың шығуына алып келді. Теріс сандар ұзақ уақыт бойы “жалған” сандар деп есептеліп, “қарыз” (“борыш”), “жеткіліксіздік” (“жетімсіздік”) ретінде түсіндіріліп келген. Оң және теріс сандарға амалдар қолдану ережесі ұзақ уақыт бойы тек қосу және азайту жағдайлары үшін ғана ғарастырылып отырған. Мысалы, бұл ережені үнді математиктері 15 ғасырда былай тұжырымдаған: “Екі мүліктің қосындысы мүлік болады, екі қарыздың қосындысы қарыз болады, мүлік пен қарыздың қосындысы бұлардың айырмасына тең болады”. Тек 17 ғасырда ғана Декарт пен Ферма енгізген координаттар әдісі пайдаланыла бастағаннан бері теріс сандар оң сандар мен тең праволы сандар ретінде қабылданады. Бүтін және бөлшек сандар рационал жиынын құрайды. Бұл сандар есептеуге қолайлы: екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі және бөліндісі (бөлгіш нөлден басқа сан болғанда) рационал сандар болып табылады. Рационал сандардың тығыздық қасиетібар, мұның арқасында кез келген кесіндісі бірлік өлшем ретінде қабылданған кесіндімін кез келген дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал санмен өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт бойы адамзаттың іс жүзінде қажеттіктерін толық қамтамасыз етіп келді (және де қазіргі кезге дейін қамтамасыз етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді. Ежелгі Грецияда Пифагордың (біздің заманымызға дейінгі 6 ғасырда) мектебінде, егер өлшеу бірлігі ретінде квадраттың қабырғасы алынатын болса, онда квадраттың диагоналын рационал санмен өрнектеуге болмайтыны дәлелденген болатын. Квадраттың диагоналы және оның қабырғасы секілді кесінділерді өлшенбейтін кесінділер деп атаған. Бұдан кейінгі уақытта (біздің заманымызға дейінгі 5-4 ғасырларда) ежелгі грек математиктері толық квадрат болмайтын кез келген натурал n саны үшін n санының иррационалдығын дәлелдеді. Үндістаннаң , Таяу және Орта шығыстың, ал кейініректе Европаның математиктері иррационал шамаларды пайдаланды. Бірақ ұзақ уақыт бұларды тең праволы сан ретінде қабылдамай келген. Оларды қабылдауға Декарттың “Геометриясының” шығуы ықпал жасады. Әрбір рационал немесе иррационал сан координаттық түзудің бойында нүктемен кескінделеді, және керісінше, координаттық түзудің бойындағы әрбір нүктеге белгілі бір рационал немесе иррационал, яғни нақты сан сәйкес келеді. Иррационал сандар ендірілгеннен кейін координаттық түзудің бойындағы барлық “бос орындар” толтырылды. Осы қасиетке сүйеніп, нақты сандар жиыны (рационал сандар жиынынан айырмашылығы) үздіксіз болып табылады делінеді. Кез келген нақты санды шектеусіз (периодты немесе периодсыз) ондық бөлшек түрінде көрсетуге болады. 18 ғасырда Л. Эйлер (1707-1783) мен И. Ламберт (1728-1777) кез келген шектеусіз ондық бөлшек иррационал сан болатынын көрсетеді. Шектеусіз ондық бөлшектер негізінде нақты сандар құруды неміс математигі К. Вейерштрасс (1815-1897) жасады. Нақты сандар теориясын мазмұндайдың басқаша тәсілдерін неміс математиктері Р. Дедекинд (1831-1897) пен Г. Кантор (1845-1918) ұсынады. 16 ғасырда квадрат және куб теңдеулерді шешуге байланысты жорамал сандар ұғымы енгізілді. Сандар ұғымы дамуының соңғы кезеңі комплекс сандардың енгізілуі болды. Бұл идея 16 ғасырда 3 және 4 дәрежелі алгебра теңдеулердің шешімін табуға байланысты пайда болған. Үлкен сандар Индийцтарда өте үлкен сандардың аттары болды. Олар миллионды “коти”, жүз миллионды-“врнда”, ал аңыздарда Будда діңінде, қалай ол үлкен сандарға аттар берген туралы айтылған. Марко Полоның әңгімесінде “миллионе” сөзі қайта айтыла беретән. Оның айтуы бойынша “миллионе”-мыңнын мыңы. Сенбеген венецияндықтар оны Марко Миллионе деп атаған. Жүз жылдан кейін европалықтар Қытаймен танысқанда ғана, көпес Марко Полоның айтқаны расталды. Француз математигі Шюке миллионның миллионы “биллион” деді. Биллионды жазу үшін, бірден кейін 12 нөл қою керек деді.“Би” сөзі латын тілінен аударғанда “екі рет” деген мағынаны білдіреді. Басқа да санау жүйелері Англия мен Германияда болды. Оларда мыңнын миллионның миллиард немесе биллион, мыңнын биллионы-триллион, ал мыңнын триллионың-квадриллион деп атады. Бұл санау жүйесін қазірде біздің елімізде қолданған. Міне үлкен сандардың атаулары: Шехеризада саны 1001-даңқы шыққан. Шехеризада саны. Бұл санның ерекшелігі неде? Мұның ерекшелігі мынада: бұл 1001 саны 7, 11, және 13 сандарына қалдықсыз бөлінеді немесе 1011=7*11*13 болады, бұл санның ерекшелігі бұл емес. 873*1001=873 873 236*1001=236 236 т.б. Кез келген үш таңбалы санды 1001-ге көбейткенде шығатын көбейтіндіні үш таңбалы санды екі рет қайталап жазған санға тең.
Байырғы қазақ күнтізбесі бойынша (оның негізгі ертедегі араб күнтізбесінде жатыр) он екі айға арнайы жәндіктер мен хайуанаттар атын беру (тышқан, сиыр, барыс, қоян, ұлу, жылан, қой, мешін, тауық, ит, доңыз) олар 12 қазына деп атап өту, “оң екі мүше сау болсын”, “он екіде бір нұсқасы жоқ”, “он екі баулы өзбек, тоғыз баулы түркімен” немесе лиро эпос жырларында кездесетін “Орай да орай от атқан Он екі тұтам жпй тартқан !” (Қобыланды батыр) “Он екі айдың жартысы жаз болады, Жаз белгісі үйрек пен қаз болады” (“Қозы Көрпеш – Баян сұлу”) “Үлкендігі басының Он екі қарыс қазандай” (Қамбар батыр) деген сөз тіркестері он екі санын ерекше қасиет түтудың белгісі. Математика ғылым саласында сан ұғымы ерекше орын алатыны белгілі. Санның шұғу тарихы, әрбір тоғыз, жеті, үш, бір сандары қазақ халқында ерекше қасиетті ұғым екенін білдік. Санамызға киелі сандар бар екенін жеке қалыптастыру. Сандар ерекшелігі, қасиеті шығу тарихын толық зерттедім деп есептемеймін. Әлі де сандардың ашылмаған құпия сыры, жұмбақ қасиеті бар деп ұғамын. Келешек ұрпаққа қазақ халқы үшін киелі жеті, тоғыз, үш сандарының құпиясын жеткізу. Сандар ұғымының құпиясын ашқан қлы ғалымдар еңбегін өзім сияқты жеткіншек ұрпақтардың оқып – үйренуін насихаттаймын. Сабақтың тақырыбы: Сандардың тарихы және санау жүйелері. Сабақтың мақсаты: Білімділігі: Оқушылардың санау жүйелері, ондық , екілік, сегіздік, оналтылық санау жүйесі туралы білімдерін қалыптастыру Тәрбиелігі: Жан-жақты болуға, өз бетімен жұмыс істеуге тәрбиелеу. Дамытушылығы: Оқушылардың есте сақтау және зейіндік қабілеттерін дамыту. Пәнге деген қызығушылығын арттыру. Сабақтың түрі: практикум элементтерінің көмегімен демонстрациялау, баяндау арқылы түсіндіру. Оқыту әдістері: сөздік, көрнекі, практикалық Сабақтың көрнекілігі: компьютерлер, интерактивті тақта, электронды оқулық . Оқыту формалары: жеке, топтық және ұжымдық. Сабақтың өту барысы: І. Ұйымдастыру кезеңі. ІІ. Үйге берілген тапсырманы тексеру. (Практикум жұмыстарын талқылау) Өткен сабақтар бойынша қайталау сұрақтары: 1. «Ақпарат» түсінігін тұрмыстық, ғылыми, жаратылыстану және техникалық мағынада қалай түсінесіңдер? 2. Ақпарат өлшеудің қандай тәсілдері бар? 3. Адам ақпаратпен қандай әрекет түрлерін орындайды? 4. Ақпараттық процесс деген не? 5. Ақпаратты ұсынудың тәсілдерін атаңдар? 6. Информатикаға анықтама беріңдер? 7. Қазіргі кездегі компьютерлердің қолданылуының сипаты қандай? ІІІ. Жаңа тақырыпты түсіндіру. 2- тарау. Компьютердің арифметикалық негіздері Сандардың тарихы және санау жүйелері. «Сан» түсінігі математика үшін де, информатика үшін де маңызды болып табылады. Сан қандай да бір алфавиттің символымен немесе символдар тізбегімен өрнектеледі. Мұндай символдарды цифр деп атайды. Сан түсінігімен санау жүйелері туралы түсінік байланысты. Санау жүйелері – сандарды өрнектеудің қандай да бір тәсілі және оған сәйкес сандармен әрекет жасау ережелері. Бұрынғы және қазіргі қолданылып жүрген барлық санау жүйелері позициялық және позициялық емес санау жүйелері болып екі үлкен топқа бөлінеді. Позициялық санау жүйелерінде цифрдың мәні орналасу орнына тәуелді, ал позициялық емес санау жүйелерінде тәуелді емес. Позициялық емес санау жүйелерінде әр цифрдың мәні оның тұрған орнына тәуелді емес. Позициялық емес санау жүйелерінің ішінде ең көп тарағаны – римдік санау жүйесі. Позициялық санау жүйелері Позициялық санау жүйелерінде әрбір цифрдың мәні, осы санның жазылуында тұрған орнына тәуелді. Қазіргі кезде кең тараған позициялық санау жүйелеріне ондық, екілік, сегіздік және он алтылық жүйелер жатады. Әрбір позициялық жүйенің нақты анықталған цифрлар алфавиті мен негізі бар. Позициялық санау жүйесінің негізі цифрлар санына тең және көрші позицияда тұрған бірдей цифрлардың мәндері неше есеге ерекшеленетінін анықтайды. Сандардың бізге үйреншікті жазылу жүйесі ондық жүйе деп аталады, ол он араб цифрларынан тұрады. Кез келген санды жазу үшін 0-ден 10-ға дейінгі 10 цифр қолданылады, оның негізі 10-ға тең; екілік жүйеде тек 0 және 1 цифрларын қолдануға болады, негізі-2; сегіздік жүйе сегіз цифрдан тұрады, негізі – 8; он алтылық жүйеде ондық санау жүйесінің он цифры және қалған 6 цифрдың орнына латын алфавитінің әріптері қолданылатын, барлығы он алты цифр бар, негізі – 16. 2.2. кесте Позициялық санау жүйелері Санау жүйесі негізі Цифр алфавиті ондық 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Екілік 2 0,1 Сегіздік 8 0,1,2,3,4,5,6,7 Он алтылық 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 А(10),В(11),С(12),Д(13),Е(14),F(15) Ондық санау жүйесі Бұл жүйеде сандарды жазу үшін он цифр қолданылады: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткені ондық санның жазылуында цифрдің мәні оның позициясына немесе сандағы орнына байланысты. Мысалы, 777 саны жеті жүздіктің , жеті ондықтың және жеті бірліктің қосындысын білдіреді. 777= 7*102+7*101+7*100 Санның цифрына бөлінетін позицияны разряд деп атайды. Екілік санау жүйесі Екілік жүйеде әдетте ондық емес, позициялық екілік санау жүйесі, яғни негізі «2» санау жүйесі қолданылады. Екілік жүйеде кез келген сан 0 мен 1 цифрларының көмегімен жазылады да, екілік сан деп аталады. Екілік санның әрбір разрядын (цифрын) бит деп атайды. Сегіздік санау жүйесі Сегіздік санау жүйесінің негізі 8-ге тең, ал 0,1,2,3,4,5,6,7 сандары алфавиттік сандар болып табылады. Оналтылық санау жүйесі Екілік сандарды жазуды қысқарту үшін негізі 16 санау жүйесін яғни оналтылық санау жүйесін қолданамыз. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 A, B, C, D, E,F IV. Сабақты бекіту . Жаңа сабақты бекіту сұрақтары: 1. Санау жүйесі деп нені айтады? 2. Позициялық санау жүйесінің позициялық емес санау жүйесінен айырмашылығы неде? 3. Позициялық санау жүйесінің негізі деп нені айтады? 4. Санды екілік жүйеден ондық санау жүйесіне қалай ауыстырады? 5. Он алтылық санау жүйесінде санды жазу үшін қандай цифрлар қолданылады? V. Үйге тапсырма беру: 2 - тарау. Компьютердің арифметикалық негіздері. §2.1. Сандардың тарихы және санау жүйелері. VI. Оқушыларды бағалау. Нақты сандар жиыны 1. Натурал сандар Натурал сандар деп мына сандарды атаймыз 0, 1, 2, 3, 4,… Барлық натурал сандар жиының N символымен белгіленеді. Белгілі бір a санының натурал сан екенің көрсету үшін a ∈ N деп белгілейміз. Мысалы 1 ∈ N, 5 ∈ N, 3 ∈ N. 2. Бүтін сандар
Яғни бүтін сандар 0, 1, 2, 3, 4,… және –1, –2, –3, –4,… сандар жиындарының бірігуінен құралған. Бүтін сандар жиының P символымен белгілейміз. Тұжырым. N жиынына еңетің кез келген сан P жиынына да еңеді. Бұндай жағдайда N жиыны P жиынына еңеді дейді, және N ⊆ P деп жазады. Сұрақ. P жиыны N жиынына еңеді ме? 3. Рационал сандар Рационал сандар деп (a ∈ P, b ∈ P, b ≠ 0) сандарын атаймыз. Мысалы  . Рационал сандар жиының R деп белгілейміз.
Кез келген бүтін c саны рационал жиынына еңеді да, яғни рационал саны да болып табылады. Өйткені , соңдықтан P ⊆ R. Сұрақ. N ⊆ R тұжырымы орынды ма? 4. Иррационал сандар Иррационал сан деп π = 3,141592… немесе = 1,4… сандары тәрізді бөлшек бөлігі шексіз, периодты емес цифрлардан құралған сандарды атаймыз. Иррационал сандар жиының Q деп белгілейміз. 5. Нақты сандар
жүктеу/скачать 7,18 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|