05В010100 – «Мектепке дейінгі оқыту мен тәрбиелеу» мамандығы үшін

Екі жиынның элементтерінен жаңа жиындар құруға болады.

Егер А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары арқылы бейнелесек, онда А∩В жиыны штрихталған облыс болады (11-сурет).

А және В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың қиылысуы бос жиын болады А∩В=Æ. Бұл жағдайда А және В жиындары қиылыспайды деп айтады.

3. 
   Кортеж
   

Осыған ұқсас мәселелер математикада да бар: 133211 санын жазу үшін бізге оның цифрларының жиыны, яғни {1, 3, 2} жиынымен қатар, ол санның жазылуындағы барлық цифрлар жиынтығын, олардың ретін білу керек. Бұл жиынтықта цифрлардың жазылу реті маңызды роль атқарады. Өйткені, мысалы, 133211 санындағы әрбір бірліктің мағынасы әр түрлі: бірінші бірлік қарастырылып отырған санда бір жүз мыңдықтың бар екенін, екінші бірлік осы санда бір ондықтан, ал үшінші бірлік осы санда бір бірліктің бар екенін көрсетеді.

Математикада осындай жиынтықтарды кортеждер деп атайды. Машиналар кортежі, адамдар кортежі, сөздегі әріптер кортежі, санның цифрларының кортежі туралы айтуға болады.

Кортежге енетін, әрбір нәрсені компонент немесе координата деп атайды. Мысалы, 133211 саны цифрларының кортежі <1, 3, 3, 2, 1, 1> түрінде жазылады.

Кортеждің компоненттерінің саны оның ұзындығы деп аталады қарастырылып отырған кортеждің ұзындығы 6, ал «параллелограмм» сөзінің әріптері кортежінің ұзындығы 14-ке тең.

Екі <а₁, а₂, _…, а_m,> және 1, b₂, _…, а_n,> кортеждердің ұзындықтары тең, яғни m=n болса және бірінші кортеждің әрбір компоненті екінші кортеждің әрбір сәйкес компонентіне тең, яғни а₁= b₁, а₂= b ₂ ..., а_m= b_n болса, онда оларды тең кортеждер деп атайды. Мысалы, <а, b₁, с> және < а, b, с>, кортеждері тең кортеждер болып саналмайды.

Ұзындығы 2-ге тең кортеждерді реттелген жұптар немесе, қысқаша, жұптар, ұзындығы 3-ке тең кортеждерді үштіктер деп т. е. с. атайды. Сонымен қатар, ұзындықтары 1 және 0 болатын кортеждер де, қарастырылып, оларды <а> және < > арқылы белгілейді. Дегенмен, бірқатар есептерді шешу кортеж ұғымы мен байланысты болғандықтан, бұл ұғым пайдаланылады.

Мысалы, үшінші класта мынадай есепті шығарады: «1000001 саны қанша цифрмен жазылған?» Оқушылар бұл сұрақтарға «1000001 саны 7 цифрмен жазылған, олардың ішінде әр түрлі екі цифр ғана бар, олар 0 және 1» деп жауап береді.

Осы жауаптың мағынасында бізге белгілі кортеж және жиын ұғымдары жатқанын көреміз. Шынында да, 1000 001 саны дегеніміз цифрлардың <1, 0, 0, 0, 0, 1> кортежі, ал ол сан жеті цифрмен жазылған дегенде біз кортеждің ұзындығын айтып тұрмыз. Санның әр түрлі цифрлары туралы сұраққа жауап бергенде біз ол санның цифрларының жиыны, яғни {1, 0} жиыны туралы айтамыз.

Үшінші класта мына сияқты есептер де қарастырылады: 2, 0, 7 цифрларын пайдаланып: а) бір таңбалы үш сан; б) екі таңбалы төрт сан; в) жеті таңбалы бір сан жазыңыздар.

Бұл есепте шешу үшін 2, 0 және 7 цифрларынан әр түрлі кортеждер құру керек екені түсінікті. Атап айтқанда: а) ұзындығы 1-ге тең; б) ұзындығы 2-ге тең; в) ұзындығы 7-ге тең кортеждер құру керек.

Әрине б) және в) жағдайларында бірінші компоненттері нольге тең болатын кортеждер қарастырылмайды.

Қарастырылып отырған есептің а) жағдайының жауабы: 2, 0, 7 цифрларын пайдаланып бір таңбалы үш сан, яғни 0, 2, 7 сандарын жазуға болады (бұл жерде ұзындықтары 1-ге тең үш кортеж <0>, <2> және <7> болады).

Есептің б) сұрағына жауап бергенде оқушылар екі таңбалы төрт санның әр түрлі жиынтықтарын атаулары мүмкін. Мысалы, оқушылардың біреуі 20, 27, 72, 70 сандарын (яғни <2, 0>, <2, 7>, <7, 2>, <7, 0> кортеждерін), екіншісі -20, 22, 72, 77 сандарын, үшіншісі -22, 70, 27, 72 сандарын т. с. с. атауы мүмкін.

Соңғы жағдайда да оқушылардың жауаптары әр түрлі болады, яғни оқушылар 2777002 санын да, 7777777 санын да, 2000000 санын да т. с. с. атаулары мүмкін.

4. 
   Реттелген жұптар
   

Математикада жұп туралы сөз болғанда оны ұзындығы 2-ге тең кортеж деп түсінеміз. Егер жұптың компоненттері х және у болса, онда оны <х,у>түрінде жазады. Сонымен, жұп дегеніміз ұзындығы 2-ге тең кортеж. Бұл анықтамадан <х, у>¹<у, х> екенін, яғни <х, у>және <у, х>жұптары әр түрлі жұптар екенін көреміз. Компоненттері тең емес жұптармен қатар <х, х>түріндегі жұптар да қарастырылады.

5. 
   Жиындардың декарттық көбейтіндісі
   

 Осылайша құрылған жұптар жиыны Х және У жиындарының декарттық көбейтіндісі деп аталады. Жалпы, Х және У жиындарының декарттық көбейтіндісі деп бірінші компоненті хÎХ, ал екінші компоненті уÎУ болатын барлық <х, у>жұптарының жиынын айтады.

Х және У жиындарының декарттық көбейтіндісін Х´У арқылы белгілейді, яғни

Х´У={<х, у> ïхÎХ, уÎУ}.

Тағы да мысал келтірейік. Х={1, 2, 3, 4} және У={а, в, с} жиындарының декарттық көбейтіндісін табу керек болсын. Анықтамасы бойынша ол мынадай жұптардан тұрады: Х´У={<1, а>, <1, в>, <1, с>, <2, а>, <2, в>, <2, с>, <3, а>, <3, в>, <3, с>, <4, а>, <4, в>, <4, с>}. Осы декарттық көбейтіндіні таблица арқылы жазған қолайлы:

Х´У жиынының әрбір элементі таблицаның сәйкес жолы мен бағанасының қиылысқан клеткасына жазылады. Олай болса, таблицаның клеткаларының жиыны Х={1, 2, 3, 4} және У={а, в, с} жиындарының декарттық көбейтіндісін береді екен.

Ойын барысында белгілі бір қасиеттін білдіруден, оны терістеуге өту процесі орындалады: Обруч ішінде обруч сыртындаҚызыл қызыл емесКвадрат квадрат емесҮлкен кішкентайЖуан жіңішкеДөңгелек емес дөңгелекСары сары емес және т.б.Мұндай дидактикалық ойындардың негізгі мақсаты неде? Мұндай дидактикалық ойындарды өткізу арқылы балаларға жалпы білім беру жүйесіндегі еңмаңызды икемділік – заттарды классификациялау икемділігін құрастыруға процесін дамытады. Екі обручпен ойнау арқылы жиынды класстарға бөлу. Екі обручты қолданатын ойынды қарастырайық.Жазықтыққа екі түсті обручтарды қиылысатындай(ортақ бөлігі бар) орналастырады(мысалға, қара және қызыл), сосын балаларға ойын шартын түсіндіреді: қызыл обручтің ішіне қызыл блоктарды, ал дөңгелек обручтарды қара обручқа орналастыру керек. Басында кейбір балалар қателік жасайды. Олар қызыл блоктарды қызыл обручқа орналастырып жатып, онда дөңгелек блоктарды да қара обручтың ішіне емес орналастыруы мүмкін. Сосын қалған барлық дөңгелек блоктарды қара обручқа, бірақ қызыл обручтан тыс орналастырып қоюы мүмкін. Аяғында, обручтардың ортақ бөлігі бос қалып қоюды.Кейбір балалар «Барлық дөңгелек блоктар қара обручқа ма?» деген сұрақтан кейін, жіберілген қателерін түсінеді де, дөңгелек, әрі қызыл блоктарды екі обручтың ортақ бөлігіне ауыстыра бастайды. Балалар бұл түзету барысында, неге ауыстырып жатқандарын түсіндіреді(қызыл обручта қызыл блок болған соң және қарада дөңгелек блок болған соң).Балалар бұл ойындағы блоктарды орналастырып болған, стандартты төрт сұрақтарға жауап береді: «Қандай блоктар 1) екі обручтың ішінде; 2) қызыл обруч ішінде; 3) қара обруч ішінде, бірақ қызылдың ішінде емес; 4) екі обручтың ішінде де емес?». Ойындағы блоктарды екі негізгі қасиеттер – түсі мен формасы арқылы атау керектігін нақтылап көрсету керек.  Үш обручпен ойнау арқылы жиынды класстарға бөлу. Енді үш обручпен ойналатын ойындарды қарастырамыз.Бұл ойынға қызыл, қара, көк түсті обручтар қажет. Құрылған аймағы аталған үлгіге сәйкес болған жағдайда (барлық обручтардың ішінде, яғни қызыл мен қара обручның ішінде, бірақ көк обручтың сыртында және т.с.с.), екі обручты ойынға қарағанда қиынырақ болып келетін блоктардың классфикациясына байланысты тапсырмалар шешіледі. Блоктарды орналастыру ұсынылады, мысалы, қызыл обручтың ішінде қызыл блоктардың орналастырылуы, ал қара обручтың ішінде шаршылар, ал көктің ішінде барлық үлкен блоктар. Блоктарды орналастыру тапсырмасын орындағаннан кейін, үш обручпен ойналатын кез келген вариантта үлгіқалыпқа сәйкес сегіз сұрақ қойылады. Қандай блоктар жатыр: 1) үш обручтың ішінде; 2) қызыл және қараның ішінде, бірақ көк обручтың сыртында; 3) қара мен көктің ішінді, бірақ қызылдың сыртында; 4) қызыл мен көктің ішінде, бірақ қараның сыртында; 5)қызылдың ішінде, бірақ қараның және көк обручтың сыртында; 6) қараның ішінде, бірақ, қызыл мен көк обручтың сыртында; 7) көктің ішінде, бірақ қызыл мен қара обручтың сыртында; 8) барлық үш обручтың сыртында?

Лекция №5

Санау жүйесі

1. 
   Позициялық санау жүйесі
   

Позициялық санау жүйесінде цифрлық мәні оның орнына байланысты болды. Позициялық мән санау жүйесiнiң негiзiнде дәрежесі арқылы анықталады. Позициялық санау жүйесiнiң негiзi деп қолданылатын цифрлар санын айтады.

Әрбір позициялық жүйенің нақты анықталған цифрлар алфавиті мен негізі бар. 
Позициялық санау жүйесінің негізі цифрлар санына тең және көрші позицияда тұрған бірдей цифрлардың мәндері неше есеге ерекшеленетінін анықтайды. 
Сандардың бізге үйреншікті жазылу жүйесі ондық жүйе деп аталады, ол он араб цифрларынан тұрады. Кез келген санды жазу үшін 0-ден 10-ға дейінгі 10 цифр қолданылады, оның негізі 10-ға тең; екілік жүйеде тек 0 және 1 цифрларын қолдануға болады, негізі-2; сегіздік жүйе сегіз цифрден тұрады, негізі – 8; он алтылық жүйеде ондық санау жүйесінің он цифрі және қалған 6 цифрдің орнына латын алфавитінің әріптері қолданылатын, барлығы он алты цифр бар, негізі – 16. 

Ондық 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Екілік 2 0,1

Сегіздік 8 0,1,2,3,4,5,6,7

Он алтылық 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 А(10),В(11),С(12),Д(13),Е(14),F(15)

2.Позициялық емес санау жүйесі

Позициялық емес санау жүйесінде әрбір цифрлық мәні оның алатын орнына байланысты емес. Мұндай санау жүйесiнiң мысалы ретінде римдік жүйені алуға болады. Осы жүйеде жазылған ХХХ санында Х цифрі кез келген позицияда 10-ды бiлдiредi. Позициялық емес санау жүйесінде арифметикалық әрекеттерді орындау қиын болғандықтан, позициялық санау жүйесі қолданылады.

Тарих бойынша ондық сандық жүйе ең көп тараған жүйе болса да,онымен қатар көптеген сандық жүйе осы күнге дейін адам өмірінде қолданып келеді. 
Мысалға Майя халқы – жиыралық, индеецтер –бестік және ондық , Европа революцияға дейін - он екілік( дюжина) , ал Қытайда – бестік санау жүйесін қолданған. 
Негізінде кез – келген сандық жүйе құруға болады. Сандық жүйенің негізін ретінде кез – келген бүтін санды алуға болады. Мысалы, 2 бүтін санды – екілік санау жүйесі деп, 3 бүтін санды – үштік санау жүйесі деп және т.б. сандарды алуға болады. 
Екілік санау жүйесін 1850 жылы ағылшын математигі Дж. Буль ойлап тапқан. Бұл жүйе екі санмен: 0 және 1 өрнектеледі.