1. ҚАтелер теориясы
жүктеу/скачать 1,78 Mb.
|
ЧМ теория
| 3.4. Итерация әдісі
Жүйедегі сызықтық теңдеулер саны көп болғанда Гаусс әдісімен есептеу қиындайды, сондықтан мұндай жағдайларда жуықтап есептеу әдістерін қолданған тиімді. Бізге
теңдеулер жүйесі берілсін дейік. Мұнда диагональдық элементтер болсын, (3.22) жүйесін, оның бірінші теңдеуінен - ді, екінші теңдеуінен - ні, ..., - ші теңдеуінен - ді анықтайтындай етіп, (3.22) жүйесіне эквивалентті, төмендегідей итерацияға ыңғайлы жүйеге түрлендірейік: , (3.23) мұндағы , егер және , егер . (3.22) жүйесін матрицалық түрде жазуға болады: (3.24) Мұндағы және (3.23) жүйесін тізбектеп жуықтау әдісімен шешеміз, мұнда алғашқы жуықтау ретінде бос мүшелер бағанын алымыз. Әрі қарай матрица-бағандарын құрамыз, яғни: бірінші жуықтау: , екінші жуықтау: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ші жуықтау ... (3.25) Сонымен төмендегідей жуықтаулар тізбегін аламыз: (3.26) Егер (3.26) тізбегі жинақты болып, оның шегіболса, онда х (3.23) жүйесінің шешімі болады. Шындығында да, (3.26) – те шекке көшсек, онда , яғни х шектік векторы (3.22) жүйесінің, сол сияқты (3.23) жүйесінің де шешімі болады. Енді жуықтау формулаларын ашып жазайық: (3.27) Ескерту: Кейбір жағдайларда (3.23) жүйесін (3.24) жүйесіне келтіру кезінде ыңғайлы. Мысалы: мұндайда: Алғашқы жуықтау ретінде кез келген векторды алуға болады. (3.25) және (3.27) формулаларымен анықталатын тізбектеп жуықтау әдісі итерация әдісі деп аталады. (3.27) түріндегі итерация үрдісі жақсы жинақталады, егер a матрицасының элементтері модульдері бойынша кіші сандар болса. Басқаша айтқанда жүйені итерация әдісімен тиімді шешу үшін, (3.25) жүйесінің диагональдық элементтерінің модульдері, диагональдық емес элементтерінің модульдерімен салыстырғанда үлкен болуы қажет. Итерациялық үрдістің жинақты болуының қажетті және жеткілікті шарттарын анықтау үшін математикалық және функциональдық анализ курстарынан белгілі теоремаларды қолданамыз. Теорема: (3.26) түрдегі жүйе үшін төмендегідей шарттардың ең болмаса біреуі орындалса: 1. - жатық жолдағы коэффициенттердің модульдерінің қосындысы, - тік жолдағы коэффициенттердің модульдерінің қосындысы, онда (3.27) үрдісі жинақты болады және ол (3.26) жүйесінің, сол сияқты (3.25) жүйесінің де шешімі болады. Салдар: (3.25) жүйесі үшін итерация үрдісі жинақты болуы үшін әрбір диагональдық коэффициенттері сол жолдағы қалған коэффициенттердің модульдерінің қосындысынан үлкен болуы қажет, яғни: . Практикада итерация әдісімен жүйені шешу үшін төмендегі метрикалардың біреуінің орындалуы жеткілікті. 1) - (3.26) жүйесінің оң жағындағы коэффициенттер модульдерінің тік жолдық қосындысының максимумы бірден кіші болуы керек; 2) - (3.26) жүйесінің оң жағындағы коэффициенттер модульдерінің жатық жол қосындысының максимумы бірден кіші болуы керек; - (3.26) жүйесінің оң жағындағы барлық коэффициенттерінің квадраттарының қосындысы квадрат түбірі бірден кіші болуы керек. Мұндағы - сығылу коэффициенті деп аталады. Практикада көбінесе жүйені итерация әдісімен шешу, - ге дейінгі дәлдікпен жүргізіледі. Мұндағы әдіс қателігі аспайды. Мысал 4. Жүйенің шешімін дәлдікпен анықтаңдар: Енді жинақты болу шарттарының біреуінің орындалуын тексерейік, яғни сығылу коэффициентін анықтайық. Тік жолдың элементтерінің модульдерінің қосындыларын анықтасақ, олар: бірақ бұл қосындының шамасы бірден үлкен. Енді 3 – ші метриканы қарастырайық, яғни жүйенің коэффициентінің квадраттарының қосындысын есептейік: Сығылу коэффициенті Олай болса, берілген жүйені итерация әдісімен шешуге болады. Есептеулерді төмендегі кесте бойынша жүргіземіз. 8 Кесте - Итерация әдісімен есептеу кестесі
Итерация үрдісін шарты орындалғанша жалғастырамыз. Соңғы мәндерді дейін дөңгелектесек жүктеу/скачать 1,78 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|