символдарының біреуімен белгілейді. Енді тік бұрышты координаттар жүйесі анықталған үш өлшемді кеңістікте денесі (жиыны) және оның үлестіру тығыздығы , берілсін денесінің массасын табу керек болсын.
Бұл есепті шешу үшін келесі үш амалды орындаймыз (жоғарыдағы алғашқы есептің шешуімен салыстырыңыз).
денесін бөліктеріне бөлеміз және олардың көлемдерін (үш өлшемді өлшемдерін) арқылы (бұл көлемдер бар деп ұйғарамыз) белгілейміз.
Осы бөліктердің әрбіреуінен кез келген нүктесін алып,
қосындысын (Риманның интегралдық қосындысын)құраймыз. Ол ізделініп отырған М массасының жуық мәні:
Ізделетін M массасы осы интегралдық қосындысының ұмтылғандағы шегі:
(4)
Тағы да (4) өрнекке үш өлшемді жиынында берілген функциясына жасалған амал деп қарауға болады. Бұл амал (Риман бойынша) – үш еселі интегралдау амалы,ал оның нәтижесі анықталған үш еселі Риман интегралы деп аталады да,
символдарының біреуімен белгіленеді.
Осы сияқты n еселі Риман интегралы да анықталды. Одан бұрын біз аймақ өлшемі туралы азын-аулақ мағлұмат беріп алайық.
Екі өлшемді жағдайда шекарасы (1-сурет) тегіс немесе шекарасы құрақты-тегіс (шекарасы ақырлы санды тегіс сызықтардан құралған (2-сурет)) шенелген аймақтар қарастырылады. Бұл аймақтар өз кезегінде шекаралары құрақты-тегіс бөліктерге бөлінеді. Әрбір осындай аймаққа (және басқа да жиындарға) оның ауданы немесе екі өлшемді Жордан өлшемі деп аталатын m оң саны сәйкес келеді. (К.Жордан (1838-1922) – француз математигі.)
Сонымен бірге келесі қасиеттер орындалады:
Егер - табаны , биіктігі болатын тік төртбұрыш болса, онда
Егер , ал аймақтарының өлшемдері болса, онда
Егер аймағы құрақты-тегіс сызықтармен , бөліктеріне бөлінсе ( = + , онда
