1. Группаның ішкі группа бойынша жіктелуі Сақинаның идеалдары
жүктеу/скачать 0,64 Mb.
|
Документ Microsoft Word (3)
- Бұл бет үшін навигация:
- 3. G группасының кез келген a, b, c элементтері үшін ab және ba элементтерінің реті бірдей болатынын дәлелдеу керек
- 3. Кез келген n-ші ретті шекті группа кейбір S n
|
Билет 1 1. Группаның ішкі группа бойынша жіктелуі 2. Сақинаның идеалдары Айталық, К = < K, +, - , x, 1 > - сақина, және J - осы сақинаның іш жиыны болсын. Анықтама 1: Егер кез- келген а,в болса, онда J жиыны К сақинасында алу операциясы бойынша тұйық деп аталады. Анықтама 2: Егер а және кез –келген элементтері үшін а к орынды болса J жиынды К сақинаның элементіне оң жақтан көбейту операциясы бойынша орнықты деп аталады. Сол жақтан көбейту операциясы бойынша орнықтылық та осылай анықталады. Егер бір уақытта оң және сол жақтан көбейту операциялары бойынша орнықты болса, J жиынды К ның элементтеріне көбейту операциясы бойынша орнықты деп аталады. Анықтама 3: К сақинаның оң (сол) идеалы деп алу операциясы бойынша тұйық және К – ның элементтеріне оң (сол) сол жақтан көбейту операциясы бойынша орнықты болатын К жиынының кез – келген іш жиынына айтылады. Анықтама 4. К сақинаның бір уақытта оң, сол идеалы болатын іш жиынына К сақинаның идеалы деп аталады. {ak} жиынды К сақинаның нолдік идеалы деп атайды. К жиынында К сақинаның идеалы болады. Ол К сақинаның бірлік элементтерінің еселілерінен құралатын болады, сондықтан оны К сақинаның бірлік идеалы деп атайды. Нолдік және бірлік идеалдарды К сақинаның тривиал идеалдары деп атайды. Тривиал еместерін К сақинаның өзіндік идеалдары деп атайды. Мысалдар: 1. Z – бүтін сандар сақинасы, n болсын. жиыны Z сақинаның идеалы болады. 2. К – кез- келген сақина, n – дискрленген(қозғалмайтын) бүтін сан болсын. жиыны К сақинаның идеалы болады. Идеалдар үстінде амалдар қарастырамыз. К сақинаның J және j идеалдарының қиылысуы деп J жиынына айтылады. J және j идеалдарының қосындысы деп J + j = {x + y/x J6 yj} теңдікпен анықталған жиынға айтылады. К сақинаның J және j идеалдарының көбейтіндісі деп көріністегі элементтер жиынына айтылады, мұнда болып, n- кез-келген оң бүтін сан. Көбейтіндіні J.j деп жазылады. Қосынды, көбейтіндіні және қиылысу арқылы жасалған жиындарда идеал болуын көрсетуге болады. Сонымен бірге К-камутативті сақинаның (а) бас идеалы а элементі өз ішінде алған барлық идеалдардың қиылысбасы болуын яғни (а) идеал а элементті өз ішіне алатын идеалдардың ең кішісі болатындығын көруге болады. 3. G группасының кез келген a, b, c элементтері үшін ab және ba элементтерінің реті бірдей болатынын дәлелдеу керек Билет 2 1. Гомоморфизм. Фактор группа. Гомоморфизм туралы теорема 2. Лагранж теоремасы Лагранжа теоремасы: егер - группаның ішкі группасы болса, онда онда оның реті группа ретінің бөлгіші болады. Дәлелдеу. группадағы барлық ауыстырулар болсын, - - тің барлық ауыстырулары (яғни ). Егер , онда теореманың тұжырымы дұрыс, сондықтан ( -нің меңшікті ішкі группасы) болсын. Осы сөйлемге байланысты орындалатындай ауытыру бар. Бірқатар ауыстыруларды қарастырайық. (1) (1) қатардың барлық ауыстырулары әртүрлі: егер кейбір i, j үшін теңдік орын алса, оның оң және сол бөліктерін -ге көбейтсек, теңдік шығатын еді. Сонымен қатар, олардың ешқайсысы ішкі группада жоқ: егер қандай да бір саны үшін орын алса, онда бұл кейбір үшін дегенді білдіреді. Осы теңдіктен шығады, ал ауыстырулар группасы болғандықтан, онда , бұл ауыстыруды таңдауға қайшылыққа әкеледі. Егер группаның және (1) қатарының ауыстырулары -дан барлық ауыстыруларды тауысатын болса, онда |, және бәрі дәлелденеді. Кері жағдайда, (1) қатарда болмайтын ауыстыру табылып және . Ол үшін бірнеше ауыстыруды анықтайық. (2) Сол сияқты, төмендегі тұжырымдар расталады: 1) (2) қатардың барлық ауыстырулары әртүрлі; 2) олар құрамында жоқ; 3) олардың ешқайсысы (1) қатарларының ауыстыруларының арасында кездеспейді. Егер ішкі группаның және (1) және (2) қатарларының ауыстырулары группаының барлық элементтерін бітіріп тастаса, онда және бәрі дәлелденеді. Әйтпесе, ауыстыруларды таңдау және (1) және (2) түріндегі қатарларды құру процесін әрі қарай жалғастырамыз. группасы ақырлы болғандықтан, онда кейбір, мысалы, -қадамда, -ден барлық ауыстырулар таусылады. Басқаша айтқанда, олардың барлығын келесі кестеде орналастыруға болады: сонымен қатар, осы кестенің әр жолындағы барлық ауыстырулар әртүрлі және кез-келген 2 жолда ортақ элементтер жоқ. Кестедегі элементтердің жалпы саны ( группасының реті), әр жолдағы элементтер саны тең ( группасының реті), онда бізде теңдік бар , онда -ніңбөлгіші болып табылады. Теорема дәлелденді. 3. Кез келген n-ші ретті шекті группа кейбір Sn n элементті алмастыру группасына изоморфты болатынын дәлелдеу керек жүктеу/скачать 0,64 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|