10 А. Е.Әбiлқасымова, З.Ә. Жұмағұлова алгебра

16
МЫСАЛ
3. Бір координаталықжазықтықта у = х
2
және у = (х + 1)
2
функцияларыныңграфиктерісалынған(12-сурет).
x
y
O 1
1
–1
–1
12-сурет
13-сурет
Демек, у = f(х + b) (мұндағыb ≠0) функциясыныңграфигiн у = f(х)
функциясыныңграфигiнен Ох осiнiң бойыменb > 0 болғандатерiс
бағытта, b < 0 болғанда оң бағытта |b| бiрлiккепараллель көшiру
арқылы алуға болады(13-сурет).
а)
ә)
14-сурет
x
x
y
y
O
O
1
1
1
1
–1
–1
–1
–1
y=
x
2
1_ 2
y=
x
2
y=
(2
x
)
2
y=
x
2
ТҮСІНДІРІҢДЕР
у = (х + 1)
2
функциясыныңграфигінсалуүшін у = х
2
функциясыныңграфигіне
қандайтүрлендіруқолданылған(12-сурет)?
ТҮСІНДІРІҢДЕР
у = х
2
функциясыныңграфигінсалу үшін
у = х
2
функциясыныңграфигінеқандай түр-
лендіруқолданылған (11-сурет)?
11-сурет
O 1
1
–1
–1
x
y
y=
x
2
y=
x
2
1_ 2
МЫСАЛ
4.а) у =
жәнеә)у = (2x)
2
функцияcыныңграфигiнсалайық.
Шешуі: Олүшiн берілгенфункциялардыңграфиктерін у = x
2
 функ-
циясының графигiн Ox осi бойыменсәйкесінше 2 есе созу; 4 есе сығу арқылы
аламыз(14 а, ә-сурет).

17
Демек, y = f(аx) (мұндағыa ≠0 — кез келгенсан) функциясының
графигiн y = f(x) функциясының графигiнен Ox осi бойымен |а| > 1
болғанда |а| есе сығу немесе0 < |а| < 1 болғанда
есе созу арқылы
алады (15-сурет).
Ендібарлықтүрлендірудіқолданудықажетететінфункцияграфигін
салуғамысалкелтірейік.
15-сурет
16-сурет
Демек,y = kf(ax + b) + d функциясыныңграфигiнy = f(x) функция-
сының графигiненжоғарыда қарастырылған түрлендiрудi қолданып
аламыз.
у
= (2
х + 1)
2
– 4
функциясыныңграфигінсалу үшін қандайтүрлендіру
қолданылатынын
атаңдар.
1. Графиктердiтүрлендiрудiқандайжағдайлардақолданғаныңғайлы?
2. y = f(x) + b, y = f(x + a) функцияларының графиктерiнтүрлендiру
арқылы салудыңерекшелiгiнеде?Мысалкелтiрiңдер.
3. y = –аf (x), y = f(–аx ) функцияларыныңграфиктерінсалу кезіндеf(x)
функциясыныңграфигінтүрлендірудеқандайұқсастықбар?
Жаттығулар
А
2.1.y =x функциясыныңграфигiнқолданып,y =3x, y =–2x, y =x +2,
y = –4x – 1 функцияларының графиктерiнбiр координаталық
жазықтыққасалыңдар.
МЫСАЛ
5. у = (х – 2)
2
+ 3 функциясының графигiнсалайық.Ол үшiн:
1) у = x
2
параболасынсаламыз;
2) параболаны оң бағытқа Ох
осiнiң бойымен 2 бiрлiкке
параллелькөшiремiз;
3) шыққан параболаныОу осiнiң бойымен 3 бiрлiк жоғары
параллелькөшiремiз (16-сурет).

18
2.2.y =
функциясыныңграфигiнқолданып,y = +1, y =–
+ 1,5,
y =
– 2 функцияларыныңграфиктерiн бiр координаталық
жазықтыққа салыңдар.
2.3.Функцияның графигiқандайқисық болады:
а) y = sin
– 2x
2
;
ә) y = 2cos0+ ;
б) y = 4sin – x
3
;
в) y = – + ctg ?
2.4.y = –2x
2
, y = x
2
+ , y = – x
2
+ 5, y = 3x
2
функцияларының
графиктерiнy = x
2
функциясыныңграфигінқолданып,бiр коор-
динаталықжазықтыққасалыңдар.
2.5.у =
функциясыныңграфигінқолданып,y =2
–
, y =
+ ,
y = 3
– 1 функцияларыныңграфиктерiн бір координаталық
жазықтыққасалыңдар.
В
2.6.а) y = 2(3 + x)
2
– 5 ә) y = –2 (x – 1)
2
+ 4 функциясыныңграфигiн
y = x
2
функциясының графигiненқандайтүрлендiрулержүргiзу
арқылы алуғаболады?Графигiнсалыңдар.
2.7.y = х
3
функциясыныңграфигiнқолданып,y = f(x) функциясының
графигiн салыңдар:
а) f(x) = x
3
+ 4;
ә) f(x) = –x
3
– 3;
б) f(x) = – 2x
3
+ 1;
в) f(x) = 2(x – 1)
3
– 5.
2.8.Берiлгенфункциялардыңграфиктерiнiңқиылысатынынграфик-
тiң көмегiменкөрсетiңдер:
а) y = x
2
– 2x жәнеy = –1; ә) y = x
2
– 5x + 4 жәнеy =
.
2.9.Графиктік тәсілментеңдеудіңқанша түбірі болатынын анық-
таңдар: а) x
2
= ;
ә) x
2
– 1 =
.
2.10.4-кестедеберілгенмәндерy = 2x + 1, y = 2x
2
+ 1, y = x
3
– 3
функцияларыныңқайсысыныңформуласынасәйкескеледі?
4-кесте
x
1
2
3
4
y
3
5
7
9

19
2.11.Егерf(x) = x
4
+ x
2
– 10 жәнеg(x) = x
3
+ x – 9 болса,ондаf(1) мен
g(1) мәндерінсалыстырыңдар.
Функция, функцияныңанықталу облысы мен мәндержиыны,
функцияныңграфигi, берiлу тәсiлдерi,функцияныңграфигiн қа-
рапайымтүрлендiру.
§ 3. ФУНКЦИЯНЫҢ
ҚАСИЕТТЕРI
Жұп жәнетақ функцияларғаанықтамаберуүшiн алдымен симме-
триялыжиын ұғымын енгiзейiк.
Мысалы,(–5; 5), [–b; b], (–
∞
; +
∞
) — симметриялыжиындар.
Бұдан кейбiр функциялардыңжұптылық немесетақтылық қасиетi
шығады.Егеранықтамадағышарттарорындалмаса,ондафункцияжұп та,
тақтаболмайды.Ондайфункциялардыжалпытүрдегiфункциядепайтады.
Жұп және тақ функциялардыңграфиктерiнiңөзiне тән ерек-
шелiктерiбар, яғни жұп функцияныңграфигiординатаосiне қара-
ғанда симметриялы,тақ функцияныңграфигiкоординаталарбас
нүктесiнеқарағандасимметриялықисық.
Түйіндіұғымдар
Функция, функцияның
қасиеттері
Функцияның
қасиеттері
туралыбілімдеріңді
тереңдетесіңдер.
Егер y = f(x) функциясыныңанықталу облысысимметриялы
жиынболып,х аргументiнiңкезкелгенмәнiүшiн f(–x ) = f(x) теңдiгi
орындалса,ондафункцияжұп,ал f (–x ) = –f (x) теңдiгi орындалса,
функциятақдеп аталады.
ЖАҢАБІЛІМДІМЕҢГЕРУГЕ
АРНАЛҒАНТІРЕКҰҒЫМДАР
МЫСАЛ
1.а) f(x) =5x
2
; ә)f(x) =x
3
– x; б)f(x) =2x
2
+ функцияларының
жұп немесе тақ екенiн анықтайық.
Шешуi. Ол үшін жұп жәнетақ функциялардыңанықтамаларынқолданамыз.
Берiлгенфункциялардыңанықталуоблыстары— симметриялыжиындар.
а) f(–x) = 5(–x )
2
= 5x
2
= f(x) — функцияжұп;
ә) f(–x) = (–x)
3
– (–x) = – x
3
+ x = – (x
3
– x) = – f(x) — функциятақ;
б) f(–x)= 2(–x)
2
+
= 2x
2
–
функцияжұп та, тақ та емес.
Жауабы: а) жұп; ә) тақ; б) жұп та емес,тақ та емес.
Егер Х жиынындаоның кез келгенх элементiменқатар (–х )
элементiде бар болса,онда бұл жиын симметриялы
жиындеп
аталады.

20
Егер y =f(x) функциясыүшiнT ≠0 санытабылыпжәнеанықталу
облысынаналынғанкез келгенx үшiн f(x + T) = f(x) теңдiгiорын-
далса,ондаол периодты
функциядеп аталады.
T ≠0 санынфункцияныңпериодыдеп атайды.
Егерy =f(x) функциясыныңпериодыT ≠0 санынатеңболса,ондаn · T
(мұндағыn — кез келгенбүтiн сан) саны да берiлгенфункцияүшiн
периодболады.
Сонда берiлгенқасиет бойынша тригонометриялықфункциялар
үшiн төмендегiтеңдiктерорындалады:
sin(x + 2
π
n) = sinx, n
∈
Z;
cos(x + 2
π
n) = cosx, n
∈
Z;
(1)
tg(x +
π
n) = tgx, n
∈
Z;
ctg(x +
π
n) = ctgx, n
∈
Z.
Ендisin(x +2
π
n) =sinx, n
∈
Z теңдiгiнiңорындалатынындәлелдейiк.
МЫСАЛ
3. y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx функцияларының
периодынанықтайық.
Шешуі: y = sinx, y = cosx функцияларыүшiн сәйкесiншеsin(x + 2
π
) =
= sinx, cos(x + 2
π
) = cosx, y = tgx, y = ctgx функциялары үшiн сәйкесiнше
tg(x +
π
) = tgx, ctg(x +
π
) = ctgx теңдiктерiнiңорындалатыны9-сыныптан
белгiлi. Демек, y = sinx, y = cosx функциялары үшiн T = 2
π
, y = tgx, y = ctgx
функцияларыүшiн T =
π
болады.
17-сурет
18-сурет
19-сурет
Шешуi. Жұп және тақ функциялардың графиктерiнiңқасиетiн қолданып,
мынадайқорытындығакелемiз:
1) графикOy осiнеқарағандасимметриялы,демек,функция— жұп (17-сурет);
2) график координаталарбас нүктесiнеқарағандасимметриялы,онда функ-
ция — тақ (18-сурет);
3) графиктесимметриялықжоқ, сондықтанфункциятақ та, жұп та болмайды
(19-сурет).
2.17-суреттеберiлгенграфиктербойыншафункциялардыңжұп
немесе тақ екенiн анықтайық.
МЫСАЛ
x
x
x
y
y
y
O
O
O

21
Дәлелдеуi.9-сыныптан белгiлi sin(
α
+
β
) = sin
α
cos
β
+ cos
α
sin
β
формуласын пайдаланамыз. Сонда sin(x + 2
π
n) = sinx · cos2
π
n +
+ cosx · sin2
π
n, мұндағыcos2
π
n = 1, sin2
π
n = 0 екенiнескерсек,sin(x +
+ 2
π
n) = sinx · 1 + cosx · 0 = sinx. Демек, sin(x + 2
π
n) = sinx.
(1)-формуланың
ақиқаттығын
өздеріңдәлелдеңдер.
Ең кiшi оң период функцияның периоды деп қабылданады.
Мысалы,y = sinx, y = cosx функцияларыныңең кiшi оң периоды2
π
,
y =tgx, y =ctgx функцияларыныңең кіші оң периоды
π
-гетеңболады.
ПериодыТ санынатең периодтыфункцияныңграфигiнсалу үшiн
ұзындығы Т-ға тең кесiндiгеграфиктi салып, оны Ох осiнiң бойы-
мен оңға және солға n · T қашықтыққа параллелькөшiру керек
(20-сурет).
Егерy =f(x) функциясыпериодтыжәнеоның периодыT санына
тең болса,ондаy = kf(ax + b) (мұндағыk, a ≠0 жәнеb — тұрақты
сандар) функциясыда периодты және оның периоды
санына
тең.
Анықталу облысыныңкез келген нүктесiндеf(x) функциясы
мәндерiнiңабсолютшамасыбелгiлiбiрb
l
0 санынанкiшi емесбол-
са, яғни|f(x
0
)|
m
b, x
0
∈
X, ондаол осыжиындашектелген
функция
депаталады. Егертеңсiздiкорындалмаса,ондафункцияшектеусiз
деп аталады.
20-сурет
МЫСАЛ
5. f(x) = 1 + sin2x функциясышектелгенфункция болатынын
дәлелдейік.
Дәлелдеуі.y =sinx функциясымәндерiнiңабсолютшамаларыкез
келгенx
∈
R үшiн 1-денаспайды,яғни |sinx |
m
1.
МЫСАЛ
4. y = cos(3x – 1) функциясыныңпериодынтабайық.
Шешуi. Берiлген функцияның периодын жоғарыда берiлген
қасиет бойынша анықтаймыз.y = cosx функциясының периоды
2
π
, есептiңберiлгенiбойыншаa = 3. Онда
=
=
π
болады.Демек,берiлген
функцияныңпериоды
π
санынатең.
Жауабы:
π
.

22
Анықталу облысыныңқайсыбiраралықтарындафункциятек
оң мәндердi(оныңграфигiОх осiнiңжоғарғыжағындаорналасқан),
басқааралықтарындатектерiсмәндердi(графикОх осiнiңтөменгi
жағындаорналасқан) қабылдаса, онда мұндай аралықтарды
функцияның
таңбатұрақтылық
аралықтарыдеп атайды.
Егерy = f(x) функциясыныңанықталу облысындағыкез кел-
ген x
1
< x
2
сандарыүшiн f(x
1
) < f(x
2
) теңсiздiгi орындалса, онда
функция өспелi,f(x
1
) > f(x
2
) теңсiздiгiорындалса,онда функция
кемiмелiдеп аталады.
Өспелi,кемiмелi,кемiмейтiнжәнеөспей-
тiн функциялардыбiрсарынды(монотонды
)
функциялардеп атайды.
Функциянықайсыбiрнүктенiңмаңайында
зерттегенде нүктенiңаймағы ұғымы пайда-
ланылады.
а нүктесiнiңаймағыдепосынүктенiқам-
титын кез келгенаралықтыайтады.
21-суреттегiх
1
(х
2
) нүктесiндефункцияның графигiөсуденкемуге
(кемуденөсуге)алмасады.Мұндайнүктенi максимум(x
mах
) (минимум
(x
min
)) нүктесiдеп атайды.
Осыдан|sin2x |
m
1 немесе–1
m
sin2x
m
1. Соңғы қос теңсiздiктiң барлық
бөлiгiне1 санын қоссақ, 0
m
1 + sin2x
m
2 қос теңсiздiгiн аламыз. Сонымен,
берiлгенфункцияныңмәндерiнiңжиыныE (f ) =[0; 2]. Бұл шектелгенфункция.
Егерy = f(x) функциясыныңанықталу облысындағыкез келген 
x
1
< x
2
сандарыүшiн f(x
1
)
m
f(x
2
) теңсiздiгiорындалса,онда функция
кемiмейтiн
, жәнеf(x
1
)
l
f(x
2
) теңсiздiгiорындалса,онда өспейтiн
функциядеп аталады.
МЫСАЛ
6. а) y = x + 1; ә) y =
функциясытаңбасыныңтұрақ-
тылық аралықтарынанықтайық.
Шешуi. а) y = x + 1
функциясы нақты сандар жиынында өспелi және
x = –1 нүктесiнде0-гетең.Олайболса,бұл функцияның(–
∞
; –1) аралығындатерiс
таңбалы,(–1; +
∞
) аралығындаоң таңбалыболатыны айқын. Бұлар функцияның
таңбатұрақтылық аралықтары.
ә) Бөлшектiңалымыx-тiң кез келгенмәнiндеоң болғандықтан,оның таңбасы
бөлiмiндегi өрнеккетәуелдi.Ендеше,(–
∞
; 0) аралығындафункциятерісмәндерді,
(0; +
∞
) аралығындаоң мәндердіқабылдайды.
Егерх
0
нүктесiнiңқандай да бiр аймағынан алынғанбарлық х
үшiн f(x)
l
f(х
0
) (f(x)
m
f(х
0
)) теңсiздiгiорындалса,ондах
0
нүктесi
f(x) функциясының минимум(максимум
) нүктесi деп аталады.
21-сурет

23
Минимумжәне максимум нүктелерiн экстремумнүктелерi, осы
нүктелердегiмәндердiсәйкесiншефункцияның минимумыжәне
максимумы немесефункцияныңэкстремумдарыдеп атайды.
Жаттығулар
А
3.1.Функцияны жұптылыққатексеріңдер:
а) f(x) = –3x
4
+ 2,5x
2
;
ә) f(x) = cos
– 4x
2
+ x;
б) f(x) = 5sin
2
x + – х;
в) f(x) = –2,5x
6
– 5.
3.2.Функцияны тақтылыққатексеріңдер:
а) f(x) = 2x
5
– 4x
3
+ 1;
ә) f(x) = sinx – 2x
3
;
б) f(x) = x
3
· ctgx
2
;
в) f(x) = 2x |x| – 3x – 1.
3.3.T саны y = f(x) функциясыныңпериодыболатынынтексеріңдер:
а) f(x) = 2sin x, T = 6
π
;
ә) f(x) = cos
, T = 10
π
;
б) f(x) = ctg
+ 1, T = 3
π
; в) f(x) = tg5x + 2,5, T = .
3.4.22 a, ә, б-суреттердеx
l
0 (x
m
0) шартын қанағаттандыратын
барлық x үшiн у = f(х) функциясының графигi берiлген.
а) f(х) — тақ функция; ә) f(х) — жұп функция; б) f(х) — тақ та
емес,жұп та емесдеп алып, f(х) функциясының графигiнтолық-
тырып салыңдар.
1. Егер жұп функцияның анықталу облысы [a; b] кесiндiсi болса, онда a
жәнеb сандарытуралыне айтуғаболады?
2. Тек қана оң мәндерқабылдайтынтақ функцияболама? Жауабынтүсiн-
дiрiңдер.
3. Функцияның периодтылығыдегенiмiзне?
4. Функцияның таңбатұрақтылықаралықтарынқалай анықтайды?
5. Егер y = f(x) функциясы нақты сандаржиынында өспелi болса, онда
y = – f(x) функциясыөспелiме, әлдекемiмелiме?
22-сурет
а)
ә)
б)
3.5. 23-24-суреттердеy = f(x) функциясы графигiніңбөлігі берiлген.
Графиктiқолданып,функцияның:1) координатаосьтерiмен

24
қиылысу нүктелерiнiң координаталарын;2) өсу және кему
аралықтарын;3) таңбатұрақтылықаралықтарынтабыңдар.
В
3.6.y = f(x) функциясыныңжұп немесетақ екенiндәлелдеңдер:
а) y = x
4
+ 4|x|;
ә) f(x) = |x| – 2x
2
;
б) f(x) =
;
в) f(x) =
.
3.7.Берiлгенфункциялардыңең кiшi оң периодынтабыңдар:
а) f(x) = cos
;
ә) f(x) = cos
2
3x – sin
2
3x;
б) f(x) = ctg
;
в) f(x) = 6sin cos .
3.8.Төмендеберілгендердіқолданып f(x) функциясыныңграфигін
салыңдар:
а) функция
аралығындаөседі,
аралығындакемиді;
ә) (–∞; 1] және[3; +∞) аралықтарындаөседі; [1; 3] — кемиді;
б) (–
∞
; –4] және[1; +
∞
) аралықтарындакемиді;[–4; 1] — өседі;
в) x
max
= –1, x
min
= 2, f(–1) = 2, f(2) = –3;
г) f(x) — жұп функция, x
max
= 0, x
min
= 1, f(0) = 4, f(1) = 0;
ғ) f(x) — тақ функция, x
min
= 5, f(0) = 2, f(5) = –3.
3.9.Түрлендiруарқылы y = f(x) функциясыныңграфигiнсалыңдар.
График бойынша функцияның өсу және кему аралықтарын,
экстремумнүктелерiн,таңбатұрақтылықаралықтарынтабыңдар:
а) y = 2x – x
2
;
ә) y =
– 3.
3.10.y = f(x) функциясыжұп функцияекенібелгілі.
а) f(x) = 2х
2
;
ә) f(x) = х
4
– х
2
функциясыныңформуласынқандай алгебралыққосылғышпен
толықтырғанда:1) жұп функцияны;2) жалпытүрдегіфункцияны
алуғаболады?
23-сурет
24-сурет

25
3.11.y = f(x) функциясытақ функцияекенібелгілі.
а) f(x) = –3х
3
;
ә) f(x) = х +х
3
функциясыныңформуласынқандай алгебралыққосылғышпен
толықтырғанда:
1) тақ функцияны; 2) жалпытүрдегіфункцияныалуғаболады?
Функция,функцияныңтүрлері,графигіжәнеқасиеттері,аргумент,
функцияныңанықталуоблысыжәнемәндержиыны,бірайнымалыны
екінші айнымалыарқылыөрнектеу.

жүктеу/скачать 15,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: