12 тақырып. Популяцияның даму модельдері Жоспар: Популяция санынының шексіз өсу моделі (Мальтус моделі) Мальтус моделін теориялық зерттеу
Ферхюльст моделін теориялық зерттеу
жүктеу/скачать 0,68 Mb.
|
12 дәріс
| 4. Ферхюльст моделін теориялық зерттеу
Математикалық модель (3) – 1-ші ретті дифференциалдық теңдеу. Теңдеулерді түрлендіреміз: N = 1/u айнымалысын ауыстырамыз және оны (3) теңдеуге қойып, түрлендіру тізбегін орындаймыз Соңғы теңдеу енді бөлінген айнымалылары бар теңдеу болып табылады, оның шешімі екі бөліктіде интегралдау болып табылады. Соңғы формула (3) математикалық модельдің жалпы шешімін анықтайды, N(0) = N0 екенін ескере отырып, одан нақты шешім табамыз. С1 -ді жалпы шешімге қойып, келесі формуланы аламыз (4) ол (3) математикалық модельдің нақты шешімі болып табылады, одан N(t) популяция саны уақыт бойынша экспоненциалды түрде өзгеретіндігі шығады, оның шамасы r, k, N0 кіріс деректерінен тәуелді болады. (4) формуланы дифференциалдай отырып, біз санның өзгеру жылдамдығын анықтайтын формуланы аламыз. (5) Алынған(5) формуланы пайдаланып N(t) жүрісін талдаймыз: (r – k∙N0) = 0 кезінде, яғни N0 = r/k кезінде V(t) жылдамдығының мәні 0 тең. N0 >r/k кезінде туынды N′(t) < 0, демек N(t) функциясы, яғни популяция саны кемиді: N0 < r/k кезінде туынды N′(t) > 0, демек N(t) функциясы, яғни популяция саны өседі. N(t) популяциясының саны қандай шамаға дейін азаюы немесе өсуі мүмкін екенін анықтайық. Ол үшін t→∞ кезіндегі оның шегін есептейік. Соңғы өрнектен y = r/k түзуі (4) формуласымен анықталған N(t) функциясының графигі үшін асимптота болып табылады. N0 бастапқы санының әр түрлі мәндері үшін N(t) санының уақыттан тәуелділігінің графиктері 64-суретте көрсетілген. Бірінші және екінші жағдайда да N(t) популяциясының саны тұрақтанады, яғни r/k шамасына жақындау арқылы тұрақты болады, бірақ тұрақтандыруға әр түрлі жолмен қол жеткізіледі, N0 > r/k болған жағдайда N(t) саны азаяды, N0 < r/k болған жағдайда N(t) өседі. К = r/k шамасы қоршаған орта сыйымдылығы деп аталады, ол бәсекелестік болған кезде популяцияның ең үлкен және ең аз санын анықтайды. Сур. 64 - Популяцияның дамуының графикалық модельдері жүктеу/скачать 0,68 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|