5 Аксиоматикалық теория қай уақытта мазмұнды теория деп аталады? Анықтама. Егер аксиоматикалық теорияда қорыту ережелері көрсетілмей, әдеттегі логикалық қорыту ережелері қолданылса, онда теория мазмұнды аксиоматикалық теория деп аталады.
Мазмұнды теорияға мысал ретінде Группалар теориясын, Сақиналар теориясын, Лобачевский немесе Евклид геометриясын айтуға болады.
6 Аксиоматикалық теорияның интерпретациясы қай уақытта сол теорияның моделі болады? Анықтама. Егер бір математикалық жүйе алып, ол жүйенің элементтеріне берілген аксиоматикалық теорияның негізгі объектілері мен негізгі қатынастарының аттарын берсек, онда бұл жүйе берілген аксиоматикалық теорияның интерпретациясы деп аталады.
Анықтама. Егер аксиоматикалық теорияның қарастырылып отырған интерпретациясында сол теорияның аксиомаларының бәрі орындалса (олардың орындалатынын тексеріп көрсетеміз), онда бұл интерпретация берілген аксиоматикалық теорияның моделі деп аталады.
Мысал қарастырайық. Группалар теориясын алайық.
Бұл теориядағы
I. а) негізгі объектілер: группаның (жиынның) элементтері
ә) негізгі қатынастар: * - тернарлық қатынас
II. аксиомалар: 1) * -БАО
2) * - ассоциативті
3) * -ға қатысты, жиында нейтрал элемент бар
4) * -ға қатысты әрбір элементке симметриялы эл. бар
Осы теорияның интерпретациясын және моделін табайық.
1) N – негізгі объектілер жиыны,
+ - тернарлық қатынас. Онда N , + - интерпретация.
Осы интерпретация модель бола ма? Ол үшін жоғарыдағы төрт аксиоманың орындалатын-орындалмайтынын тексерейік.
1) + - БАО ,
2) + - ассоциативті
3) + - ға қатысты нейтрал элемент жоқ. 0 N.
Олай болса, N , + - модель емес.
