9. 1B комбинаторика және жиындар теориясының элементтері: Жиын ұғымы
жүктеу/скачать 1,18 Mb.
|
Комбинаторика
- Бұл бет үшін навигация:
- VII-тақырып. Тәжірибенің қайталануы. Кездейсоқ шама. 25. Бернулли схемасы. Тәжірибені қайталау
| 24. Ең болмағанда бір оқиғаның пайда болу ықтималдығы .
Теорема. А1А2......Ап тәуелсіз оқиғалардың ең болмағанда біреуінің орындалуы болатын А оқиғасының ықтималдығы 1-ден осы оқиғаларға қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтіндісін шегергенге тең. (19) 1-мысал. 20 детальдан тұратын партияда 5-і жарамсыз. Кез келген үш деталь алынады. Осы алынған детальдардың кем дегенде біреуі жарамсыз деталь болу ықтималдығын тап. Шешуі. D оқиғасы- алынған үш детальдың ең болмағанда біреуі жарамсыз болсын, ал - алынған 3 детальдың ішінде жарамсыз деталь жоқ. Онда Р(D)+Р( )=1 болады. Бұдан . оқиғаның ықтималдығы (10) формула арқылы есептеледі. Сонда D оқиғаның ықтималдығы мынаған тең: 2-мысал. Электр тізбегіне екі сақтандырғыш тізбектеліп орнатылған. Бірінші сақтандырғыштың істен шығу ықтималдығы 0,6-ға, ал екіншісінің – 0,2-ге тең. Кем дегенде бір сақтандырғыштың істен шығу нәтижесінде электр қуатының болмау ықтималдығын тап. Шешуі. Есептің шарты бойынша p1=0,6, p2=0,2, онда q1=0,4, q2 =0,8 болады. (19) формула бойынша кем дегенде бір сақтандырғыштың істен шығу ықтималдығын табуға болады. 3-мысал. 23-бөлімдегі 1-мысалдың шарты бойынша алынған шарлардың кем дегенде біреуі ақ болу ықтималдығын табайық. Шешуі. Кем дегенде бір шардың ақ болу ықтималдығын (19) формула бойынша табамыз VII-тақырып. Тәжірибенің қайталануы. Кездейсоқ шама. 25. Бернулли схемасы. Тәжірибені қайталау Мұндай сынақтарға өндірілетін бұйымдарды жатқызуға болады. Бұл жағдайда А оқиғасы - жарамды бұйымдар болса, ал оқиғасы - жарамсыз бұйымдар болып табылады. Теңгені бірнеше рет лақтырғандағы елтаңба жағының (А оқиғасы) түсуі, нысанаға атылған оқтың тиюін Бернулли схемасы бойынша анықтауға болады. Барлық жағдайларда жүргізілген сынақтар тәуелсіз болып табылады, Қатарынан екі рет жүргізілген тәуелсіз сынақтардың нәтиже-лерін қарастырайық. Оларды Бернулли схемасы бойынша мынадай таблица арқылы көрсетуге болады.
Ықтималдықты есептеу барысында тәуелсіз оқиғаларды көбейту және қосу теоремалары қолданылады. Тәжірибенің нәтиже-лері толық топты құрайды, сондықтан р2+2pq+q2=1 немесе (p+q)2=1 тең. Дәл осылай қатарынан жүргізілген 3 сынақтың да нәтижесін Бернулли схемасы арқылы көрсетеік.
Қатарынан үш рет түсу А оқиғасының орындалу ықтималдығы р3 –ке тең болады. Қатарынан екі рет А оқиғасының, яғни және оқиғалардың орындалу ықтималдығы 3p2q -ге тең. А оқиғасының бер рет те пайда болмауының ықтималдығы q3 тең. Бұл жүргізілген тәжірибенің нәтижелері толық топты құрайды, яғни р3+3р2q+3pq2+q3=(p+q)2 Мұндай паймдаулардың саны көп сынақтарға да қолдануға болады. Сонымен, жалпы жағдай үшін тұжырым жасайық. n тәуелсіз тәжірибе жүргізілсін. Әрбір сынақта А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тұрақты және р-ға тең. Рп(к) арқылы n рет тәжірибе жүргізгенде А оқиғасының k рет орындалу ықтималдығын белгілейік (20) Бұл формуланы Бернулли формуласы немесе биномдық формула деп атайды, себебі, ықтималдығы Ньютон биномының формуласындағы қосылғыштарды көрсетеді. (p+q)n = Cnnpnq0+Cnn-1pn-1q1+Cnn-2pn-2q2+…+Cnmpmqn-m+…+Cn0p0qn =1 Ескерту: Рп(к), мұндағы k=1,2,….,n ықтималдығының қосындысы бірге тең, себебі бұл оқиғалардың барлығы толық топ құрайды, яғни (21) 1-мысал. Әрбір детальдың стандартты болу ықтималдығы 0,9-ға тең. Қалай болса солай алынған 4 детальдың ішінде k=0, 1,2,3,4 стандартты деталь болу ықтималдығын тап. Шешуі. Бернулли формуласын пайдаланайық, мұндағы n=4, p=0.9, q=0,1. Тексеру: P4(0)+ P4(1)+P4(3)+ P4(4)=0,0001+0,0036+0,0486+0,2916+0,6561=1 Сонымен есептеулер дұрыс жүргізілді. Тәжірибе нәтижесінде А оқиғасының қанша рет орындалу санын көпбұрыш арқылы көрнекті түрде көрсетуге болады. Координаттық жазықтықта (к,Р4(к)) нүктелерін белгілеп, оларды кесіндімен қосамыз. Сонда пайда болған көпбұрыш А оқиғасының орындалу санының таралуы деп аталады. Бұл арқылы жүргізілген тәжірибеде А оқиғасының қанша рет орындалу санының ықтималдырақ екенін тез әрі жеңіл анықтауға болады. 1 2 3 4 k Бернулли схемасы мен үйлесімсіз оқиғалардың қосындысы туралы теореманы пайдаланып, n тәуелсіз тәжірибеде А оқиғасы: а) k-дан кем рет орындалу ықтималдығы -формуласы бойынша есептеледі; б) k-дан артық рет орындалу ықтималдығы формуласы бойынша есептеледі; в) k-дан кем емес рет орындалу ықтималдығы формуласы бойынша есептеледі; г) k-дан артық емес рет орындалу ықтималдығы формуласы бойынша есептеледі; д) k1 -ден кем емес, k2 -ден артық рет емес рет орындалу ықтималдығы Рn(к 1≤ к ≤ к2) = Рn(к1)+Рn(к1 +1)+…+Рn(к2) формуласы бойынша есептеледі; е) ең болмағанда бір рет орындалу ықтималдығы Рn(1)+Рn(2)+…+Рn(n) немесе 1 – Рn(0) формуласы бойынша есептеледі, өйткені Рn(0)+Рn(1)+…+Рn(n)= 1 екені белгілі. 2-мысал. Үлкен көлемді партияда 80% жарамды бұйым бар. Кез келген 5 бұйымның а) үштен артығы жарамсыз болу ықтималдығын; б) үштен артық емес бұйым жарамсыз болу ықтималдығын; в) кем дегенде бір бұйымның жарамсыз болу ықтималдығын тап. Шешуі: А – алынған бұйымның жарамсыз болуы. Оның ықтималдығы , ал кездейсоқ алынған оқиғаның жарамды болу ықтималдығы тең. а) Алынған 5 бұйымның ішінде үштен артығы жарамсыз болу ықтималдығы мынаған тең б) Алынған 5 бұйымның үштен артық емес бұйымы жарамсыз болу ықтималдығн екі әдіспен табуға болады. Соңғы оқиғаның ықтималдығын басқаша да есептеуге болады. «Үштен артық» және «үштен артық емес» оқиғалар қарама-қарсы оқиғалар болып саналады және қарама-қарсы оқиғалар туралы теорема бойынша . Онда в) кем дегенде бір бұйымның жарамсыз болу ықтималдығы мынаған тең . жүктеу/скачать 1,18 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|