9 лекция тақырыбы. Аналитикалық геометрияның пайда болуы және дамуы
Декарттың аналитикалық геометриясы
жүктеу/скачать 70,28 Kb.
|
9-15 лекция тезисі
| Декарттың аналитикалық геометриясы. Ұлы ойшыл, энциклопедист ғалым Рене Декарт (1596-1650) Францияда шағын дворян семьясында дүниеге келеді. Ол сегіз жасында иеуизиттік мектепке оқуға түседі. Мектепте тоғыз жыл оқып грек, латын сияқты ескі тілдерді меңгереді. Ол, әсіресе математика мен философияны жете үйренеді. Математикалық шындықтардың шүбәсіз дұрыс, айқын, ақиқат болатынына ерте назар аударады.
Декарт - заманындағы асқан ойшыл философ. Ол философиялық көзқарасы бойынша дуалист, яғни дүниенің негізі бір-біріне бағынбайтын тәуелсіз тең құқылы екі негізден, нәрседен- рухтан және материядан тұрады деген принципті басшылыққа алады. Декарттың ғылыми-философиялық еңбектерінің ең биік шоқтығы-оның 1637ж. жарық көрген еңбегі “Әдіс туралы ой-пікірлер” деп аталады. Бұл шығармада жаратылыстану ғылыми-зерттеу әдістеріне жалпы мінездеме беріп қана қоймай,ол әдістің қолданылу жолдары нақты баяндалады. Бұл еңбектің “Геометрия” деп аталынған төртінші бөлімі математика тарихында өшпес із қалдырды. Мұнда Декарт ашқан математикалық жаңа пән аналитикалық геометрияның негіздері баяндалады. Декарттың әмбебап математикасы үшін әріп алгебрасымен қисықтар геометриясы арасындағы өзара байланысты тағайындау қажет. Бұл байланыс нақты сандар мен түзулер кесінділері, өрістері арасындағы изоморфизмділіктің салдары. Былайша айтқанда, кесінділерді есептеу (гректердің геометриялық алгебрасы) нақты сандарға жүргізілетін есептеулермен ауыстырылады. Декарттың бұл “Геометриясының” негізінде екі идея жатыр: айнымалы шаманы енгізу және тік бұрышты (декарттық) координаттарды пайдалану. Бұл айнымалы шама екі түрде- қисық бойымен қозғалатын нүктенің ағымдағы координаты және берілген координаттық кесіндінің нүктелеріне сәйкес сандар жиынының айнымалы элементі түрінде қарастырылады. “Геометрия” үш кітаптан тұрады. “Тек қана дөңгелектер мен түзулерді пайдаланып салуға болатын есептер туралы” деп аталатын бірінші кітабында аналитикалық геометрияның жалпы принциптері баяндалады. Сонан кейін геометриялық қисықтардың теңдеулерін құру ережелері келтіріледі. Қандай да бір геометриялық есепті шешу үшін оны ең әуелі шешілген деп санап, берілген сызықты да, сондай- ақ ізделініп отырған сызықты да әріптермен белгілеп алады. Сонан кейін ол сызықтардың арасындағы тәуелділікті тағайындайды. Осыдан барып есепті шешуге мүмкіндік беретін теңдеу пайда болады. Циркуль мен сызғыш арқылы шешуге болатын барлық геометриялық есептер дәрежесі екіден үлкен болмайтын теңдеуге келетінін дәлелдейді. Өзінің аналитикалық геометриясының жалпы ережелерін жалпы түрде толық келтірмейді, оны тек қана қиын есептер шешу арқылы көрсетеді. Декарттың “Геометриясының” екінші кітабы “Қисық сызықтардың табиғаты” деп аталады. Ол әр түрлі дәрежелі қисықтарды қарастыруға, оларды жіктеуге, қасиеттерін анықтауға арналған. Декарт қолда бар құралдар арқылы зерттелу мүмкіндігіне қарай барлық қисықтарды екі топқа бөледі. Циркуль мен сызғыш арқылы, яғни үздіксіз қозғалыс арқылы сызылатын қисықтарға математика төрінен орын берген. Одан басқа қисықтарды механикалық деп, кейін Лейбниц оны трансцендентті қисықтар деп атаған, оларды аналитикалық жолмен жүйелі түрде зерттеуге болмайтыны айтылады. Бұл кітаптың соңында өзінің әдісін өзара перпендикуляр екі жазықтыққа проекциялау арқылы кеңістік қисықтарын зерттеуге қолдануға болатынын айта келіп, Декарт “Мен енді қисық сызықтарды зерттеп білуге қажетті түбегейлі нәрселердің барлық мәселелерін қамтыдым-ау деп ойлаймын”,- деп аяқтайды. Аналитикалық геометрияны қазіргіге жақын түрге келтіруші XVIII ғасырдағы данышпан математик Л. Эйлер (1707-1783) болды. Бұл жаңа математика саласына XVIII ғ, аяғында француз математигі академик С. Ф. Лакруа (1764- 1848) “Аналитикалық геометрия” деп айдар тақты. Аналитикалық геометрияның пайда болуы символикалық (әріптік) алгебраны әр қырынан дамытуды талап етті. Сондықтан да Декарт өзінің “Геометриясында” алгебра мәселелерін жан- жақты да терең қарастырады. Бұл еңбектің “Денелік немесе өлшемі одан асып түсетін есептерді салу туралы” деп аталатын үшінші кітабында теңдеулерді шешудің жалпы теориясы баяналады. Декарттың алгебралық символикасының қазіргі қолданылып жүрген символикадан айтарлықтай айырмашылығы жоқ. Ол әрбір теңдеуді түрінде келтіруге тырысады, мұндағы -белгісіз x кемімелі дәрежесі бойынша орналасқан бүтін коэффициентті полином. -тің x-a екі мүшелігіне (a-теңдеудің түбірі) бөлінгіштік проблемасын қарастыра келіп, Декарт теңдеу түбірлерінің саны x-тің ең үлкен дәреже көрсеткішіне тең болатыны туралы нақты қорытынды жасайды. Мұнда ол нақты (оң), жалған (теріс) және қиялдауға болатын (жорамал және комплекс) түбірлердің бәрін есепке алады. Алайда бұл қорытындыны ол дәлелдей алмайды. Декарттан кейін де көп математиктер дәлелін келтіруге тырысқан, тек 1797 ж. ғана 20 жастағы Гаусс дәлелдеп шығады (алгебраның негізгі теоремасы). Декарт теңдеудің коэффициенттері қатарында қанша таңба ауысса, сонша оң түбірі болатынын, таңба қанша қайталанса, сонша теріс түбірі болатынын көрсетеді. Бұл тұжырым қазіргі кездегі жоғары алгебрада Декарт теоремасы деп аталып жүр. жүктеу/скачать 70,28 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|