А. К. Любимов в пособии представлены методологические основы преподавания курса «Имитационное моделирование экономических систем»

133 








































1
,
!
!
1
,
1
)
1
(
!
!
1
0
1
1
0
0






m
n
n
k
n
n
n
k
n
p
n
n
k
k
m
n
n
n
k
k
k
, 




























m
n
n
k
p
n
n
n
k
p
k
n
p
k
n
k
k
k
,
1
,
!
,
1
,
!
0
0


Рис. 86. Граф состояний многоканальной СМО с отказами 
Вероятность отказа – это вероятность того, что СМО находится в 
состоянии 
m
n
S

: 
!
0
n
n
p
p
P
n
m
n
m
n
отк





. 
Поскольку событие обслуживания заявки и событие отказа в ее 
обслуживании являются противоположными, то вероятность приема заявки в 
СМО равна вероятности 
sys
p
и относительной пропускной способности СМО: 
!
1
1
0
n
n
p
P
Q
p
n
m
n
отк
sys







. 
Отсюда получаем формулу для абсолютной пропускной способности 
системы: 












!
1
0
n
n
p
Q
A
n
m
n



. 
S
1 
S
n 
S
n+1 
S
n+m 

 

 

 

 
S
0 
S
k 
2

 
n

 
k

 
(k+1)

 
… 
… 
n

 

 
… 

 
… 
… 
Очередь
… 
n

 

134 
Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем 

заявок в единицу 
времени, то среднее число заявок, находящихся в обслуживании (или среднее 
число занятых каналов) определяется по формуле: 














!
1
0
n
n
p
Q
A
N
K
n
m
n
s




. 
Среднее число заявок, находящихся в очереди определяется по формуле: 
















1
,
2
)
1
(
!
1
,
)
1
(
)
1
(
1
!
0
0
2
1






p
m
m
n
n
p
m
m
n
n
N
n
n
n
n
line
. 
Среднее число заявок, находящихся в системе, равно сумме средних 
чисел обслуживаемых заявок и заявок, находящихся в очереди: 
s
line
sys
N
N
N


. 
Для средних величин времени обслуживания заявки, времени ожидания 
заявки в очереди и времени пребывания заявки в СМО значения определяются 
с помощью формул Литтла: 

s
s
N
T

, 

line
line
N
T

, 


sys
line
s
line
s
sys
N
N
N
T
T
T





. 
3. Многоканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью 
Рассмотрим многоканальную СМО с ожиданием без ограничения на 
длину очереди, то есть заявка, поступившая в СМО, когда все каналы заняты, 
не покидает систему необслуженной, а становится в очередь и ожидает 
обслуживания. Любая поступившая заявка будет обслужена. По-прежнему 
поток заявок и потоки обслуживания каждым каналом являются простейшими с 
интенсивностями, соответственно 

и 

. Данная система может находиться в 
одном из бесконечного множества состояний: 
k
S
(
n
k
,
0

) – 
k 
каналов заняты 
и очереди нет или 
m
n
S

(
,...
2
,
1

m
) – все 
n
каналов заняты и в очереди 
находятся 
m
заявок. 
Граф состояний такой СМО аналогичен предыдущему случаю (рис. 86), с 
той лишь разницей, что правого крайнего состояния нет, и граф является 
бесконечным. Стационарный режим функционирования системы возможен 
только при условии, что интенсивность обслуживания всех 
n
каналов будет 
выше интенсивности 

входящего потока, т.е. 

<
n

или 

<1. Если это условие 
не выполняется, то очередь заявок в системе будет неограниченно расти с 
течением времени (переполнение системы). 
Для получения расчетных характеристик системы нужно перейти к 
пределу при 


m
. Вероятности состояния в результате будут иметь вид: 

135 
1
,
1
!
!
1
1
0
0





















n
n
n
k
k
k
n
n
k
n
p
, 




























,
1
,
!
,
1
,
!
0
0
n
k
p
n
n
n
k
p
k
n
p
k
n
k
k
k


. 
Вероятность отказа будет равно нулю. Соответственно, вероятность того, 
что пришедшая заявка будет принята в систему, равно единице. Любая 
поступившая заявка будет обслужена. 
Относительная пропускная способность СМО: 
1

Q
. 
Абсолютная пропускная способность системы определяется только 
интенсивностью входящего потока: 


A
. 
Среднее число занятых каналов равно показателю нагрузки СМО: 





A
N
K
s
. 
Среднее число заявок, находящихся в очереди определяется по формуле: 
1
,
)
1
(
!
0
2
1







p
n
n
N
n
n
line
. 
Остальные формулы определены аналогично СМО с ограниченной 
очередью. 
Студенты делятся на группы по 3-5 человек, каждая группа получает 
свою задачу, которые они должны решить самостоятельно согласно 
вышеизложенному материалу. Преподаватель может помогать группам. 
Задачи (Красс М.С., 2006), (Трусов П.В., 2005): 
1. Рассматривается автоматическая телефонная станция (АТС) на 5 линий 
связи. Интенсивность поступающего потока заявок составляет 2 вызова в 
минуту. Средняя продолжительность одного звонка равна 1 минуту. Требуется 
определить вероятность отказа и среднее число занятых каналов. 
2. В отделении банка на обслуживании клиентов работают 3 оператора. 
Среднее время обслуживания одного клиента оператором – 12 минут. В 
среднем за час в банк обращаются 15 клиентов. Если все операторы заняты, 
клиенты не обслуживаются банком. Найти основные характеристик работы 
банка, а также вероятность того, что не менее двух операторов простаивают. 
3. В пункте валютного обмена работают два оператора, каждый из 
которых обслуживает клиента в среднем за 2,5 минуты. По условиям 
безопасности в помещении пункта не может находиться более 5 клиентов, 
включая обслуживаемых. Если помещение заполнено, то клиент не становится 
в очередь, а уходит. В среднем клиенты приходят каждые 2 минуты. 
Определите основные характеристики работы обменного пункта. Как повлияет 
на вероятность отказа увеличение числа операторов до трех человек? 

136 
4. В кассе метрополитена, продающей жетоны на проезд, работают два 
окна. В среднем один кассир тратит на обслуживание одного пассажира 0,5 
минуты. В среднем к кассе подходит 3 человека в минуту. Найти основные 
характеристики работы кассы. 
5. По конвейеру в цех поступают заготовки двух видов: А и Б. 
Интенсивность поступления деталей одинакова и составляет 0,45 заготовок в 
минуту. Для обработки заготовок используются два станка, которые могут 
обрабатывать как детали А, так и детали Б. Средняя трудоемкость обработки 
заготовок одинакова и составляет 2 минуты. Определите основные 
характеристики работы цеха. Как они изменятся, если каждый станок будет 
обрабатывать только свой тип деталей? 
6. Определите требуемое количество коек в стационаре больницы, если 
среднее время выздоровления одного больного составляет 21 день. Новые 
больные не принимаются, если все койки заняты. Поток поступления больных 
близок к пуассоновскому с интенсивностью 3 человека в день. Вероятность 
отказа не должна быть выше 5%. 
7. Определите среднюю длину очереди в кассу магазина, если среднее 
время обслуживания одного покупателя составляет 0,3 минуты. Поток 
покупателей близок к пуассоновскому с интенсивностью 3 покупателя в 
минуту. Сколько необходимо установить касс, если интенсивность возрастет в 
5 раз? Средняя длина очереди при этом не должна превышать 10 человек. 
8. Вычислительный центр имеет три ЭВМ. В центр поступает на решение 
в среднем четыре задачи в час. Среднее время решения одной задачи - полчаса. 
Вычислительный центр принимает и ставит в очередь на решение не более трех 
задач. Необходимо оценить эффективность центра. 
9. В ОТК цеха работают три контролера. Если деталь поступает в ОТК, 
когда все контролеры заняты обслуживанием ранее поступивших деталей, то 
она проходит непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК в 
течение часа, равно 24, среднее время, которое затрачивает один контролер на 
обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того, деталь 
пройдет ОТК необслуженной, насколько загружены контролеры и сколько их 
необходимо поставить, чтобы вероятность обслуживания была больше либо 
равна 0,95. 
10. Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров для обслуживания 
вкладчиков. Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью 
30 чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром 
одного вкладчика 3 мин. Определить эффективность работы сберкассы. 
11. Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили 
с грузом прибывают в разное время с интенсивностью 6 машин в день. 
Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже 
позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомашинами. В 
магазине работают три фасовщика, каждый из которых в среднем может 
обрабатывать товар с одной машины в течение 4 ч. Продолжительность 
рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч. Определить, какова должна 

137 
быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки 
товаров была не менее 0,97. 
Лабораторная работа 7. Дискретно-событийное моделирование 
Задание 1 (Файзутдинов Р.Н., 2013) 
Для реализации дискретно-событийного моделирования в среде Simulink 
используется компонента SimEvents. Они создают интегрированную среду для 
моделирования гибридных динамических систем, содержащих непрерывные 
компоненты и компоненты с дискретными событиями и дискретным временем. 
Рассмотрим модель системы массового обслуживания в Simulink на 
примере. Требуется промоделировать работу парикмахерской. Интервалы 
прихода клиентов в парикмахерскую c одним креслом распределены 
равномерно на интервале 18±6мин. Время стрижки также распределено 
равномерно на интервале 16±4мин. Клиенты приходят в парикмахерскую, 
стригутся в порядке очереди: «первым пришел – первым обслужился». 
Смоделируйте работу парикмахерской в течение 8 часов.
Требуется определить параметры функционирования парикмахерской: 

коэффициент загрузки парикмахера; 

максимальное, среднее и текущее число посетителей в очереди; 

среднее время обслуживания. 
Порядок блоков в модели (рис. 87) соответствует порядку фаз, в которых 
клиент оказывается при движении в реальной системе:
1.
клиент приходит;
2.
если необходимо, ждет своей очереди;
3.
садится в кресло парикмахера;
4.
парикмахер обслуживает клиента;
5.
клиент уходит из парикмахерской.
В случайные моменты времени блок Time-Based Entity Generator 
генерирует события, моделирующие приход клиентов в парикмахерскую. В 
параметрах блока указан тип распределения Uniform (равномерный), 
параметры: Minimum – 12, Maximum 24. 
Блок FIFO Queue сохраняет заявки (клиентов), которые парикмахер не 
может немедленно выполнить. Емкость блока принята бесконечной (inf).
Блок Single Server моделирует обслуживание клиента парикмахером. 
Этот блок может выполнить не более одной работы одновременно, тем самым 
ограничивая обработку новых работ. Время обслуживания задается через 
сигнальный порт t (Service time from – Signal port t) блоком Event Based Random 
Number, генерирующим равномерно распределенные случайные числа – тип 
распределения Uniform (равномерный), параметры: Minimum – 12, 
Maximum - 20.
Линии для передачи сущностей (entity connection line) показывают связь 
между двумя блоками (или между их входными/выходными портами для 

138 
сущностей) путем отображения пути, по которому сущность может: покинуть 
один из блоков и/или одновременно прибыть в следующий блок.
При моделировании сущность, которая покидает порт OUT одновременно 
прибывает в порт IN следующего связанного блока.
Линии для связи сущностей нельзя разветвлять. Если в приложении 
требуется, чтобы сущность прибыла в несколько блоков, для создания копий 
сущностей используется блок Replicate.
Блок Entity Sink поглощает работы, обработка которых завершена.
Рис. 87. Модель работы парикмахерской 

жүктеу/скачать 4,53 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: