Қабылбаев Қанат Ерсінбайұлы
Бөлшек уақыттың аралығында пайыздарды есептеу
жүктеу/скачать 1,32 Mb.
|
stud.kz-19239
| 2.4. Бөлшек уақыттың аралығында пайыздарды есептеу
n=1, 2, 3… (14) Формуласы бір бүтін n жыл санынан кейін салымшының есеп шотында қанша ақша болатындығын табуға мүмкіндік береді. Бірақ салымшы өз ақшасын 2,5 жылға немесе 9 айға салуы мүмкін. Енді, айталық, 2,5 жылдан кейін жылына р% мөлшерімен қанша ақша берген дұрыс екенін анықтап көрейік. Бізді қызықтыратын тәуелділікті анықтау үшін біз былай жасаймыз. Бір жағынан, 2,5 жылдың ішінде S0 бастапқы сома q рет өсіп S0∙q-ға тең болады. Мұндағы q- ізделуші және әзірше 2,5 жыл ішіндегі белгісіз көбейткіш. Келесі 2,5 жылдан кейін S0 бастапқы сома С= S0∙ q2-ға айналады. Екінші жағынан, соңғы 2,5+2,5=5 жыл ішінде (14) формула бойынша n=5 болған жағдайда S0 төмендегідей болуы қажет: бірақ С=S0∙q2 және S5 сомалары сәйкесуі қажет. Сондықтан Демек, , яғни бұндай жолмен S0 сомасы 2,5 жылдан кейін мына сомаға айналады: (15) (14) және (15) формулаларын салыстыра отырып, біз (15) формуласы бүтін n санының орнына бүтін болып табылмайтын 2,5 санын енгізу арқылы (14) формуладан алынғанын көреміз. Бұл кездейсоқ жағдай емес. Алынған нәтижені жалпылайық: жыл болсын, мұндағы m, n-натурал сандар. жылдан кейін S0 салым q есе өсіп, мынаған тең болды дейік: С1= S0∙q. Тағы да жылдан кейін, демек, жылдан кейін, S0 салымы С2= S0∙ q2-қа өзгерді делік, тағы да жылдан кейін, демек, жылдан кейін S0 салымы С3= S0∙ q3-қа өзгерді делік. Осы үрдісті жалғастырайық. n есептеулерден кейін, демек жылдан кейін, бір жағынан, S0 салымы Сn= S0∙ qn-қа өзгерді, ал екінші жағынан (14) формула бойынша n=m болған жағдайда Сn =Sm болғандықтан, q-ды табу үшін мына теңдеуді аламыз Бұдан , немесе Енді біз қойылған сұрақтарға жауап алдық: S0 сомасы жылдан кейін мына сомаға айналады: (16) (14) және (16) формулаларын салыстырайық. Біз (16) формуласы ((15)формула сияқты) (14) формуладан бүтін n санын бөлшегімен ауыстыру арқылы алынғанын көріп отырмыз. Енді кез келген көрсеткіштің бөлшектік мәндегі деңгейі жағдайында да есеп жүргізуге болады. Экономикада бүтін сан болып табылмайтын n жағдайында есепті төменде сипатталған екі әдіспен жүргізеді. 1-әдіс. Деңгейді бөлшектік көрсеткішпен анықтауды қолданамыз, демек, 2-әдіс (аралас). Егер сақтау t мерзімі бүтін сан болмаса, t-ны былай көрсетеміз: t=[t]+{t}, мұндағы [t] – t-дан асып кетпейтін, t-ның бүтін бөлігі, {t} -t –ның бөлшек бөлігі. Енді аралас әдісті қолданамыз: t-ға тең жылдың бүтін санында күрделі пайыздарды есептейміз, ал {t}-ға тең бөлшек бөлігіне жәй пайыздарды есептейміз. Сондықтан (17) 10-мысал. Банкке 2,5 жылға 30% мөлшерімен 20 000 теңге салынды. Егер салым бойынша есептеулерді а) I әдіспен және б) II әдіспен жүргізсе мерзім аяқталған кезде салымшы қанша S сома алады? Шешімі. а) р=30, S=20 000 болған жағдайдағы формуласын (16) қолданамыз. Онда б) S0=20 000, t=2,5, [t]=2, {t}=0,5 жағдайындағы (17) формуланы қолданайық. Сонда Алынған нәтижелерді салыстыра отырып, II әдіс біріншіге қарағанда көп ақша сомасын беретініне көзіміз жетіп отыр. Бұл кездейсоқ жағдай емес, мына теңсіздіктің нәтижесі бұл мына теңсіздікке баламалы болып келеді 0<{t}<1 (18) соңғы теңсіздік Я.Бернулли теңсіздігінен шығады. (18) теңсіздігі салымды бөлшек мерзімге сақтағанда, банкке пайыздарды I әдіс бойынша есептеген тиімді, ал салымшыға II әдіс бойынша тиімді. 11-мысал. 3 жыл 3 айға р=20% мөлшерімен банкке 4∙106 теңге. көлеміндегі салым салынды. Екі әдіс бойынша салымшының алатын сомасын есептейік. Шешімі. 1-әдіс. Біздің жағдайымызда t=3 жыл 3 ай =3,25 жыл. Сондықтан II әдіс. t=3,25 шарты бойынша, [t]=[3,25]=3, {t}={3,25}=0,25 болады. (17) формула бойынша біз мынаны аламыз: Алынған нәтижелерді салыстыра отырып, I әдіске қарағанда II әдіспен есептеу кезінде салымшы 23258,4 (7 257 600 – 7 234 341,6=23 258,4) теңгеге артық сома алады. 12-мысал. 30 000 теңге көлеміндегі сома 40% мөлшермен екі жылға және бірнеше бүтін көлемдегі айларға банкке салынды. Егер салымшы екінші әдіс бойынша 764 400 теңге алған болса, ақша банкте қанша уақыт тұрған? Шешімі. х арқылы бізге белгісіз айлар санын белгілейік, 0<х<12. Онда [t]=2, болады. (17) формуланы қолданып теңдеуден х-ті тауып аламыз: Бұдан х=9 (ай). 13-мысал. 3 жыл 2 ай ішінде 25% мөлшерімен 1 017 252,5 теңгеден кем емес сома алу үшін банкке қанша бастапқы сома салу қажет? Шешімі. t=3 жыл 2 ай шарты бойынша, демек, жыл. Сондықтан болады. Ізделініп жатқан бастапқы салымның S0 теңге шамасын Бізге белгілі. Бұдан Бұдан, бастапқы соманы 500 000 теңге көлемінде салса, 3 жыл 2 айдан кейін 1 017 252,5 теңгеге ие болады. 14-мысал. Салымшы банкке 1 жыл және 1 тоқсаннан кейін оның салымы 7 800 теңгеден кем болмайтын сомаға өсуі қажет деген шарт бойынша 30 000 теңге салады. Салымшыны қанағаттандыру үшін банк қандай минималды пайыз мөлшерін бекіту қажет? Есептеулер II әдіс бойынша жүреді. Шешімі: салымға пайыздарды есептеу мерзімі t=1жыл 3 ай =1,25 жыл. Сондықтан [t]=[1,25]=1, {t}={1,25}=0,25 болады. р% банктің ізделуші жылдық мөлшері болсын. Онда (17) формула бойынша біз мынаны аламыз , демек, , , – сәйкеспейді. Бұдан р≥20%. Қорыта келе, банктік есептерде уақыт аралығын жиі табуға тура келеді. Іздеу барысында алғашқы S0 сома тұрақты күрделі р% көлемі арқылы екі есеге өседі. Бұл уақыт аралығын екі еселену кезеңі деп атайды. Екі еселену Т кезеңі мына теңдеуден анықталады: . Бұдан Жәй ғана есептеу жылына р=10% болса, екі еселену Т=7,27жылдан соң, ал егер р=30 болса 2,64 жылдан кейін болады. Осыған ұқсас S0 бастапқы салымының n рет өсуінің мерзімі туралы сұрақты қоюға болады. Ізделінуші Т шамасы мына қатынаспен анықталады: жүктеу/скачать 1,32 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|