Алгебралық жүйе ұғымы
жүктеу/скачать 343,29 Kb.
|
Алгебра 10-15
- Бұл бет үшін навигация:
- Топтың қарапайым қасиеттері
| дәрежелі симметриялы топ деп аталады. Егер 𝑓 ∈ 𝑆(𝑛) және
𝑓(1) = 𝑖1, 𝑓(2) = 𝑖2, … , 𝑓(𝑛) = 𝑖𝑛 болса, онда (𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑛) сандар 𝑛-дігі (1,2, … , 𝑛) сандар 𝑛-дігінің алмастыруы болады. 𝑓 ауыстыруының мәндерін ықшамдап көрсету үшін
( 𝑓 = 1 𝑖1 2 … 𝑖2 … 𝑛
кестемен белгілеу ыңғайлы. Осыдан 𝑆(𝑛) симметриялы тобының элементтер саны (1,2, … , 𝑛) сандар 𝑛-дігінің алмастырулар санына, яғни 𝑛!-ға тең. Егер
( 𝑓 = 1 𝑖1 2 … 𝑖2 … 𝑛
3 ауыстыруының бағандарының орнын ауыстырсақ, бейнелеу одан өзгермейді. Мысалы, егер 𝑓 = (1 2 3) болса, онда 𝑓 = 1 2 3) = 2 3 1)
2 3 1 ( 2 3 1 ( 1 2 болады. Себебі осы үш жағдайдың әр қайсысында 𝑓(1) = 2, 𝑓(2) = 3, 𝑓(3) = 1. Енді екі ауыстырудың көбейту тәсілін берейік. Мысалы, 2 𝑓 = (1 2 3), 𝑔 = 1 2 3) болсын.
Онда 2 3 1
𝑔 = ( 3 1 ( ) яғни 𝑓 бейнелеуі (1,2,3) үштігін (2,3,1) үштігіне, ал 𝑔 бейнелеуі (2,3,1) үштігін (2,1,3) үштігіне сәйкестендіреді. 𝑔 ∘ 𝑓 көбейтіндісін табу үшін алдымен 𝑓 ауыстыруын, сонан соң 𝑔 ауыстыруын біртіндеп қолдансақ, онда (1,2,3) үштігіне (2,1,3) үштігі сәйкес келеді. Демек, 𝑔 ∘ 𝑓 = (1 2 3). 2 3 1
1 Осыған ұқсас 𝑓 = (3 2 1), ал 𝑓 ∘ 𝑔 = 1 2 3). 1 3 2 ( 3 2
( 𝑓 = 1 2 3 2 3 1 4 5 … 4 5 … 𝑛), 𝑛
3 2 1
4 5 … 𝑛) деп ұйғарсақ, 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓 теңсіздігінің орындалатыны айқын. 𝑓 = 1 ( … 𝑛 ) ауыстыруына 𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑛) 𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑛 ( 1 2 … 𝑛 3 ауыстыруы, әлбетте, кері элемент болады. Мысалы, 𝑓 = (1 2 3) үшін 𝑓−1 = (2 3 1) = 1 2 3) 2 3 1 1 2 3 ( 1 2 -мысал. 𝑀𝑛×𝑛 - ретті квадрат матрицалардың жиыны, ал + және ⋅ матрицаларды қосу және көбейту амалдары болсын. 〈𝑀𝑛×𝑛, +〉 абелдік тобы болады. Сонымен қатар, көбейту амалы ассоциатив және 𝐸 бірлік матрицасы үшін топтың 𝐺2 аксиомасы орыдалғанымен, 〈𝑀𝑛×𝑛,⋅〉 алгебралық жүйесі топ болмайды. 𝑀𝑛×𝑛 жиынында көбейту амалына топтың 𝐺3 аксиомасының орындалмайтындығын көрсеейік. Ол үшін 𝐴 ∈ 𝑀𝑛×𝑛 кері матрицасы жоқ бір мысалының табылуы жеткілікті болады. Керекті мысал ретінде det 𝐴 = 0 болатын қандай да бір 𝐴 ∈ 𝑀𝑛×𝑛 матрицасын қарастырайық. Кез келген 𝐴 ∈ 𝐵 ∈ 𝑀𝑛×𝑛 матрицасы үшін det(𝐴 ⋅ 𝐵) = det 𝐴 ⋅ det 𝐵 = 0. Ал det 𝐸 = 1. Сонымен кез келген 𝐵 ∈ 𝑀𝑛×𝑛 матрицасы үшін 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐸 теңдігінің орындалуы мүмкін емес. Егер тек қана анықтауыштары нөлден өзгеше матрицалармен шектелсек, онда олар көбейту амалы бойынша топ құрайды. Әдебиеттерде сол топ 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) арқылы белгіленеді де, ол сызықтық топ деп аталады.
Топтың аксиомаларына толығырыақ тоқталайық.Бұдан былай тобындағы 𝐺 көбейту амалын ⋅ символымен белгілейміз де, 𝑎 ⋅ 𝑏 көбейтіндісінің жазуындағы көбейту белгісін, әдетте, жазбаймыз. Топтың 𝐺1 аксиомасы арқасында өзара тең (𝑎𝑏)𝑐, 𝑎(𝑏𝑐) көбейтінділерін жай 𝑎𝑏𝑐 ретінде жазуға болады. Сол себептен жақшалары көрсетілмесе де, 𝑎1 ⋅ 𝑎2 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑛 көбейтіндісі бір мәнді анықталады (бірақ көбейткіштердің ретін өзгертуге болмайды). 𝑛 дана 𝑎 элементінің көбейтіндісі 𝑎 элеменінің 𝑛 дәрежесі деп аталады да, 𝑎𝑛 деп белгіленеді. 𝐺2, 𝐺3 аксиомаларында топтың кейбір ерекше элементтерінің бар болуы анықталады. Бұл жағдайда осындай элементтердің қаншасы бар болуы мүмкін болатындығы түсініксіз. Бұл сұраққа жауапты келесі теорема береді. теорема. Кез келген топта бірлік элемент біреу ғана болады және әр элемент үшін кері элемент бір мәнді анықталған. Дәлелдеу. Топтағы бірліктің жалғыздығын дәлелдейік. Топта 𝑒1 және 𝑒2 топ бірліктері бар болсын. Онда 𝑒1 элементін топ бірлігі ретінде қарастырсақ, 𝐺2 аксиомасы бойынша 𝑒1 ⋅ 𝑒2 = 𝑒2 ⋅ 𝑒1 = 𝑒2. Егер де 𝑒2 элементін топ бірлігі ретінде қарастырсақ, онда сол аксиома бойынша 𝑒1 ⋅ 𝑒2 = 𝑒2 ⋅ 𝑒1 = 𝑒1. Осыдан 𝑒1 = 𝑒2. 𝑎 топтың кез келген элементі, ал 𝑎 элементіне кері элементтер 𝑏 және 𝑐, яғни 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 𝑒 және 𝑎𝑐 = 𝑐𝑎 = 𝑒 болсын. 𝑎𝑏 = 𝑒 теңдігінің екі жағын да 𝑐 элементіне сол жағынан көбейтейік. Онда 𝐺2 аксиомасы бойынша 𝑐(𝑎𝑏) = 𝑐𝑒 = 𝑐. 𝐺1 аксиомасы бойынша, (𝑐𝑎)𝑏 = 𝑐(𝑎𝑏). 𝑐𝑎 = 𝑒 және 𝑎𝑏 = 𝑒 болғандықтан, 𝐺2 аксиомасын қолданып, 𝑏 = 𝑐 теңдігіне келеміз. Теорема дәлелденді. 2.1-салдар. 𝐺 тобының әр 𝑎 элементіне оған кері болатын 𝑎−1 элементін сәйкес қоятын бейнелеу 𝐺 тобындағы унарлы амал болады. Ол керілеу амалы деп аталады. Керілеу амалының қасиеттерін келесі теорема береді. теорема. 𝐺 тобының кез келген 𝑎, 𝑏 элементтері және кез келген 𝑛 натурал саны үшін мына теңдікте орындалады: 𝑒−1 = 𝑒, (𝑎−1)−1 = 𝑎, (𝑎𝑏)−1 = 𝑏−1𝑎−1, (𝑎−1)𝑛 = (𝑎𝑛)−1.
𝑎−1 ⋅ 𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑎−1 = 𝑒 теңдіктері бойынша 𝑎 элементі 𝑎−1 элементіне кері элемент, ал 𝑎−1 ⋅ (𝑎−1)−1 = (𝑎−1)−1 ⋅ 𝑎−1 = 𝑒 теңдіктері бойынша (𝑎−1)−1 элементі де 𝑎−1 элементіне кері элемент болады. Сонымен 𝑎 мен (𝑎−1)−1 екеуі де 𝑎−1 элементіне кері элемент болып шықты. 2-теорема бойынша, (𝑎−1)−1 = 𝑎. Топтың аксиомаларынан (𝑎𝑏) ⋅ (𝑏−1𝑎−1) = (𝑏−1𝑎−1) ⋅ (𝑎𝑏) = 𝑒 теңдіктері оңай шығады. Демек, 𝑏−1𝑎−1 элементі 𝑎𝑏 элементіне кері элемент болады. Осыдан 2-теорема бойынша, (𝑎𝑏)−1 = 𝑏−1𝑎−1. Соңғы теңдікте 𝑏 = 𝑎 деп алсақ, (𝑎2)−1 = (𝑎−1)2 теңдігіне келеміз. Осыдан индукция тәсілін қолданып (𝑎−1)𝑛 = (𝑎𝑛)−1 теңдігін оңай шығаруға болады. Теорема дәлелденді. (𝑎−1)𝑛 = (𝑎𝑛)−1 теңдігіне сүйеніп, топтың кез келген элементінің 𝑎−𝑛 оң емес дәрежесін табиғи түрде анықтауға болады. Дәлілерек айтқанда, ол төменгі 𝑎0 = 𝑒, 𝑎−𝑛 = (𝑎−1)𝑛 = (𝑎𝑛)−1 теңдіктермен анықталады, бұл жерде 𝑛 - кез келген натурал сан. Еді қандай да бір бүтін 𝑛, 𝑚 сандары үшін 𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚, (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛𝑚 теңдіктерінің орындалатындығын көрсету қиын емес. Керілеу амалын пайдаланып, кез келген 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 үшін
Топта қысқарту ережесі орындалады, атап айтқанда: егер 𝑎𝑏 = 𝑎𝑐 болса, онда 𝑏 = 𝑐 (осыған ұқсас, егер 𝑎𝑏 = 𝑐𝑏, болса онда 𝑎 = 𝑐). Шынында да, 𝑎𝑏 = 𝑎𝑐 элементін 𝑑 арқылы белгілесек, 𝑏 мен 𝑐 екеуіде 𝑎𝑥 = 𝑑 теңдеуінің шешімдері болады. Демек, 𝑏 = 𝑐. жүктеу/скачать 343,29 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|