Көпмүшеліктер Көпмүшеліктер (анықтамалық сипаттағы кейбір мағлұматтар)
(3.1)
түріндегі функция көпмүшеліктер деп аталады (немесе бүтін рационал функциялар) , мұндағы натурал сан, (i=1,…,n)- тұрақты коэффициенттер. саны көпмүшенің дәрежесі деп аталады. (32.1) көпмүшелігінің түбірі деп көпмүшеліктің айнымалысын, нөлге айналдыратын мәнін айтады, яғни .
Теорема 1. Егер көпмүшелігінің түбірі болса, онда көпмүшелік -ке қалдықсыз бөлінеді, яғни
(3.2)
мұндағы дәрежелі көпмүшелік. Көпмүшеліктің барлығының түбірі бола ма деген сұрақ туады. Бұл сұрақтың жауабын келесі ұйғарыммен аламыз.
Теорема2. (алгебраның негізгі теоремасы). Кез-келген дәрежелі көпмүшеліктің ( ) ең болмағанда бір түбірі болады, яғни нақты немесе комплекс түбірі болады.
Теорема 3. Барлық көпмүшелігін
(3.3)
түрінде жіктеледі, мұндағы , , …, -көпмүшелкітің түбірлері, -көпмүшеліктің болғандағы коэффициенті.
Д/уі: (32.1) көпмүшелігін қарастырайық. (32.2) теорема бойынша оның түбірі болсын. Оны арқылы белгілейік. Онда (32.2) қатынасы түрінде болады. көпмүшелік болғандықтан, оның да түбірі болады. Ол түбірді арқылы белгілейік. Сонда , мұндағы –(n-2) дәрежелі көпмүшелік. Демек, .
Осы процесті жалғастыра отырып, ең соңында келесі өрнекті аламыз:
(3.4)
Теорема дәлелденді.
(3.3) теңдігінде көбейткіші сызықтық көбейткіштер деп аталады.
Егер (3.3) көпмүшесін көбейткіштерге жіктегенде, көпмүшеліктің түбір k рет кездесетін болса, онда мұндай түбірлерді k еселі түбірлер деп аталады. Егер x1 түбірі k1 еселі, x2 түбірі k2 еселі және тағы осылай сияқты түбірлері бар болса, онда (2.3) көпмүшелігін келесі түрде жіктеуге болады:
Pn(x)=a0(x-x1)k1 (x-x2) k2… (x-xr) kr
(3.5)
және k1 + k2+…+ kr=n, мұндағы r-әртүрлі түбірлер.
Теорема 4. Егер Pn(x)=a0xn+ a1xn-1+…+an көпмүшелік тепе теңдігі нөлге тең болса, онда оның барлық коэффициенті нөлге тең болады.
Теорема 5. Егер екі көпмүшелік тепе-теңдігі бір-біріне тең болса, онда бір көпмүшеліктің коэффициенттері екінші көпмүшеліктің сәйкес коэффициенттеріне тең болады.
Теорема 6. Егер Pn(x) көпмүшелігінің нақты коэффициенті a+ib комплекс түбірлері бар болса, онда оның түйіндес a-ib түбірі де болады.
Д/уі: (32.3) көпмүшелігінің көбейткіштерге жіктегенде түбірлері қос түйіндес комплекс түбірлері болады.
(3.6)
көбейткіштерін көбейтіп, нақты коэффициентті 2 дәрежелі көпмүшелікті аламыз.
(3.7)
мұндағы .
Осылайша түйіндес түбірлеріне сәйкес сызықтық көбейткіштердің көбейтіндісін нақты коэффициенттері бар үш мүшеліктер мен ауыстыруға болады.
Теорема 7. Кез-келген көпмүшелік нақты коэффициентті сызықтық және нақты коэффициентті квадрат көпмүшеліктерге жіктеледі, яғни Pn(x) көпмүшелігін
