Б. О. Джолдошева из Института автоматики и информационных технологий нан кр, г. Бишкек; «Cинтез кибернетических автоматических систем с использованием эталонной модели»
§ 1. Теория и практика горных выемочных манипуляторов
жүктеу/скачать 28,25 Mb.
|
| § 1. Теория и практика горных выемочных манипуляторов
Как отмечалось выше, горный выемочный манипулятор, управляемый от ЭВМ, может моделироваться как разомкнутая кинематическая и динамическая цепь из нескольких твердых тел (звеньев), связанных последовательно вращательными сочленениями. Поскольку нам уже известно решение обратной задачи кинематики [1], мы найдем множество обобщенных углов которые позволят придать резцовой коронке положение и ориентацию, задаваемые через относительно базовой системы координат. В статике и динамике роботов мы имеем дело с обобщенными силами и моментами , позволяющими достичь требуемого усилия f и момента t на резцовой коронке. Таким образом, мы имеем дело с обратной задачей динамики манипуляторов – задачей вычисления обобщенных моментов, требуемых для получения заданных обобщенных координат скоростей и ускорений. Существуют три подхода, позволяющих получить совокупность взаимосвязанных существенно нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику ВMФ-5: - представление динамики методом связных графов (разработан Хэнком Пейнтером в 1950 г.); - представление динамики методом Ньютона-Эйлера; - представление динамики методом Лагранжа-Эйлера. В дополнение к этим методам представления динамики манипуляционных роботов известны два рекурсивных подхода – рекурсивный метод Ньютона-Эйлера и рекурсивный метод Лагранжа. Эти альтернативные подходы позволяют существенно уменьшить количество вычислений. Эффективность этих методов основана на совокупности рекуррентных связей между скоростями, ускорениями и обобщенными силами. Число сложений и умножений в этих методах изменяется пропорционально числу сочленении (n) в отличие от предыдущих методов с зависимостями от более высоких степеней n [2-5]. Основные уравнения являются обыкновенными нелинейными взаимосвязанными дифференциальными уравнениями второго порядка. Каждое дифференциальное уравнение содержит большое число составляющих момента или силы, классифицируемых по четырем группам: - инерционные силы или моменты, появляющиеся из-за наличия массы звеньев; - силы или моменты реакции, вызванные ускорением других сочленений; - центробежные и кориолисовы силы и моменты между сочленениями; - гравитационные или нагрузочные силы и моменты в звеньях. В связи с этим среди известных из этих подходов исследуем ВМФ-5, основанный на методе Лагранжа-Эйлера. Этот метод будем использовать в сочетании с представлением систем координат в разомкнутых кинематических цепях методом Денавита-Хартенберга. Общий метод получения уравнений с помощью подхода Лагранжа-Эйлера основан на следующем уравнении: , (1) где L – функция Лагранжа ; T – полная кинетическая энергия системы; V – полная потенциальная энергия системы; – обобщенные координаты, т.е. – обобщенные силы и моменты. Для определения уравнений динамики горного выемочного автоматического манипулятора используем метод Лагранжа-Эйлера, т.е. для неконсервативных систем общего вида будем использовать уравнение (1). Таким образом, нужно вычислить функцию Лагранжа где кинетическая энергия, а потенциальная энергия ВМФ-5 и ВМФ-6. Кинетическая энергия горного автоматического манипулятора тела массы равна , где – кинетическая энергия тела массы звена ВМФ-5, ВМФ-6 которая выражается следующим образом: . Таким образом, опираясь на уравнения преобразования Денавита–Хартенберга, можно показать, что (2) где – постоянная матрица. Решение: Определим величину как . (3) Таким образом, опираясь на уравнения (2) и (3), получаем или окончательно Интегрирование дает Интегральный член в скобках является ни чем иным, как матрицей инерции звена относительно начала системы координат сочленения Выражая через тензор инерции I: получаем где – координаты центра масс звена I в i-й системе координат. Таким образом, полная кинетическая энергия манипулятора равна (4) Потенциальная энергия выемочного манипулятора ВМФ-5. Полная потенциальная энергия, связанная с весом манипуляционного робота, по-прежнему определяется как сумма всех потенциальных энергий отдельных звеньев. Следовательно, (5) где – вектор положения центра масс i-го звена, выраженный в i-й системе координат, а g – вектор ускорения свободного падения. Функция Лагранжа . Из формул (3.4, 3.5) получаем: Вспомните, что мы пытаемся вывести уравнения динамики с помощью уравнений Лагранжа-Эйлера, т. е. (6) Заметим, что Аналогично Следовательно, уравнение (6) может быть представлено в следующем виде (7) Обеспечение переноса и пространственную ориентацию прямой (оси ротациирезцовой коронки) движения горного выемочного манипулятора ВМФ-6 можно реализовать путем совмещения двух точек этой прямой с заданными точками пространства. Следовательно, для перемещения в пространстве тела с шестью степенями свободы достаточно переместить две произвольно выбранные точки тела и повернуть тело вокруг оси проходящей через эти точки. Строение механизма, предназначенного для того, чтобы осуществить эти перемещения, можно функционально расчленить на три составные части: на два механизма переноса двух точек перемещаемого тела и на механизм вращения вокруг оси. По функциональным требованиям механизм переноса должен обеспечить перемещение в рабочем объеме заданной точки с тремя степенями свободы. Этот механизм должен иметь не менее трех степеней подвижности. 1 – первый механизм переноса из неполного СФГ-1; 3, 6 – призматическое соединение 4 – второй механизм переноса из неполного СФГ-1; 6 – приводная пара поступательного движения; 7, 8 – соединительное звено; 9 – резцовая коронка. Рисунок 1. Схема строения горного выемочного манипулятора ВМФ-6 с замкнутой кинематической цепью манипулятора. Со стойкой одной из СФГ (первая СФГ) связана система координат OX0Y0Z0, которая названа базовой системой координат. Со стойкой второй СФГ, входящей в состав манипулятора, связана система координат O’X0’Y0’Z0’, названная вспомогательной. Так как имеется некоторая свобода в выборе направления оси O’X0’, указанная ось направлена параллельно оси OX0. При таком выборе вспомогательной системы координат базовая система может быть совмещена со вспомогательной единственным движением – переносом вдоль оси ОXо на постоянную величину Н. Координаты точки М выходного звена в базовой системе координаты характеристической точки выходного звена СФГ-3: xм= S3S2C1-dS1 ; yм= S3S 2S1+dC1 ; zм= L1-S3C2; (8) Координаты точки А соединительного звена определяются как координаты характеристической точки выходного звена СФГ-3 (8) и равны XА = s3S2C1 – dS1, YА = s3S2S1 + dC1, ZА = L1 – s3C2, где XА, YА, ZА – координаты точки А относительно базовой системы координат. Координаты характеристической точки В, принадлежащей СФГ-3, определяются относительно системы координат O’X’0Y’0Z’0 также по формуле (8). Тогда относительно базовой системы координаты точки В соединительного звена будут равны XB = H+ s6S5C4 – d1S5, YB = s6S5S4 -d1C4, ZB=L11-s6C5, (9) где 4, 5, s6 – обобщенные координаты второго СФГ. Определим расстояние sr между точками А и В соединительного звена. Из рисунка 1 следует, что . (10) Ориентация оси соединительного звена и схвата относительно осей базовой системы координат, при известных координатах двух точек прямой, следует из выражения для направляющих косинусов. Угол между соединительным звеном и осью OX равен . (11) Угол между соединительным звеном и осью OY (12) Угол между прямой АB и осью ОZ . (13) Следует отметить, что достаточно определить лишь два угла, так как один из углов при известных остальных углах может быть определен из условия ортогональности Координаты центра схвата С при известных координатах точек А и В определяются согласно теореме о делении отрезка в данном отношении. Соединительное звено АС делится точкой В в отношении = sr\L. Тогда координаты точки С центра схвата определяются следующими выражениями (14) Таким образом, на примере одного манипулятора c параллельной структурой имеющего замкнутую кинематическую цепь показана методика определения положения центра схвата rc=(Xc, Yc, Zc, 1)т и ориентации соединительного звена манипулятора. Указанная методика может быть применена для любого манипулятора или исполнительного механизма шагающего аппарата с замкнутой кинематической цепью, составленного из нескольких полных и неполных СФГ. Пусть: , тогда уравнение расстоянии sr между точками А и В соединительного звена. Из рисунка 1 следует, что . (15) В этом случае уравнение (8) принимает вид: . (16) и – обобщение матрицы масс, так, что Уравнение (16) в литературе по робототехнике также дается в более компактной векторной форме: Исследуемый выемочный манипулятор ВМФ-5, ВМФ-6 состоит из соединительного звена с рабочим органом – резцовой коронкой и двух исполнительных механизмов составленных из СФГ. жүктеу/скачать 28,25 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|