Барлығы – 165 сағат

Сұрақтар:

1) «Бөлінгіштік» қатынасы арқылы реттелген цифрлар жиынының ең үлкен, ең кіші, максималь, минималь элементтері қайсылар?

2) Кіші қатынасы арқылы реттелген цифрлар жиынының ең үлкен, ең кіші, максималь, минималь элементтері қайсылар?

3) «Бөлінгіштік» қатынасы арқылы реттелген {2,3,4,5,6,7,8,9} жиынының ең үлкен, ең кіші, максималь, минималь элементтері қайсылар?

Әдебиеттер:

[14], [25], [28].

Тақырыбы: Функционалдық қатыс

Мектеп математикасында қарастырылған сызықтық, дәрежелік, көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық функциялардың бәрі де, жоғарыдағы анықтама мағынасында, функционалдық қатыстар (яғни функциялар) болады.

Анықтама. Егер  функционалдық қатыстың анықталу облысы шығу облысына тең болса, онда оны бейнелеу деп атайды.

Белгілеуі :АВ.

Шығу облысы мен келу облысы тең болған жағдайда жиынды өз-өзіне бейнелеу аламыз, оны жиынды түрлендіру деп те атайды.

Мысалы, y=x³ , y= sinx , y=a^x функциялары бейнелеу болады, ал y=tgx, y=log_ax функциялары бейнелеу емес.

Анықтама. Егер бейнелеудің мәндерінің жиыны келу облысына тең болса, онда оны сюръективті бейнелеу деп атайды.

y=x³ – сюръективті, , y=a^x - сюръективті емес.

Анықтама. Егер бейнелеудің мәндерінің жиынынан алынған әрбір элементтің прообразы біреуі ғана болса, онда оны инъективті бейнелеу деп атайды.

y=a^x - инъективті, ал , y= sinx - инъективті емес.

Анықтама. Егер бейнелеу әрі инъективті, әрі сюръективті болса, онда оны биективті бейнелеу деп атайды.

Мысалы, y=x , y=x³ функциялары жиынын R өз-өзіне биективті бейнелеулер.

Анықтама. Элементтерінің саны n болатын шекті жиынды өз-өзіне биективті бейнелеуді n элементтен жасалған ауыстыру деп атайды.

Мұндай ауыстырулар саны n! Болады.

Бейнелеу, ауыстыру ұғымдары БҚ- тың жеке жағдайлары болғандықтан, оларға БҚ- тарға қолданылатын инверсиялау, композициялау амалдарын қолдануға болады.

Сұрақтар:

1) y=log_ax функциясы бейнелеу болу үшін шығу, келу облыстары қандай жиындар болуы керек?

2) y=a^x функциясы биективті бейнелеу болу үшін шығу, келу облыстары қандай жиындар болуы керек?

3) Әрбір адамға оның бойының ұзындығын (сантиметр есебімен) сәйкестікке қоялық. Осы БҚ функционалдық қатыс, бейнелеу бола ма? Болса, бейнелеудің қай түрі?
Тақырып: Алгебралық операциялар (АО)

Анықтама. Құр емес А жиынының декарттық n дәрежесін Аⁿ сол А жиынына бейнелеуді «А жиынында берілген n-ар алгебралық операция (амал)» деп атайды.

Натурал n саны операцияның «ар» лығы немесе орын саны, немесе рангсы деп аталады.

Егер n1 болса, операция унар деп, n2 болса, – бинар деп, n3 болса, - тернар деп аталады.

Егер n0 болса, операцияны нуляр дейді. Жиында нуляр операция берілді деген сөз сол жиынның бір элементі ерекшеленіп көрсетілді деген сөз.

Унар операцияға толықтыру амалы, терістеу амалы мысал бола алады.

Анықтамасынан, жиында берілген БАО сол жиында тернар қатыс екені шығады. Ал керісінші , жиында берілгентернар қатыс БАО болу үшін ол екі шартты қанағаттандыруы керек: орындалатыны және бірмәнділігі.

Әдетте БАО- ларды , , ,  , ,  т.с.с. символдарымен белгілейді.

Мектен белгілі, Натурал сандарды қосу, көбейту, дәрежелеу; нақты сандарды қосу, азайту, көбейту, бөлу (нөлден өзге санға); пікірлерді конъюкциялау, дизъюнкциялау, импликациялау, биимпликациялау, ; жиындарды қималау, біріктіру, азайту; квадрат матрицияларды қосу, көбейту амалдары БАО- ның мысалдары.

БАО-лардың коммутативті, ассоциативті, дистрибутивті, қайтарымды деген түрлері болады.

Сұрақтар:

1) БҚ-ты инверсиялау амалы қандай операцияға жатады?

2) БҚ-тарды композициялау амалы қандай операцияға жатады?

3) {0, 1} жиынында қандай ережемен БАО анықтауға болады?

Әдебиеттер:

[8], [9], [10], [14], [18], [29].

Тақырып: Алгебралар

Математикада «алгебра» сөзін әртүрлі мағналарда қолданады: ол оқылатын пәннің атауы ретінде қолданылады және математикалық объект (нәрсе, ұғым) ретінде қолданылады.

Анықтама. Алгебра деп жиындардың реттелген А,  қосын айтады. Мұндағы, А- құр емес кезкелген жиын, оны алгебраның ізі немесе негізгі жиыны деп атайды;  - А жиынында берілген АО- лардың жиыны,оны бас операциялар жиыны деп атайды.

Егер  шекті жиын болса, онда оның элементтерін ₁, ₂, ..., _n деп белгілеп, алгебраны А, ₁, ₂, ..., _n  деп жазады.

Анықтама. Алгебрадағы әрбір бас операцияның «ар»лығын көрсететін сандардан тұратын  r₁, r₂, ..., r_n  кортежін алгебраның типі деп атайды. Типтері бірдей алгебраларды біртипті дейді.

Мысалы, Z, ,  және N, ,  алгебралары біртипті  2, 2  . Сондай-ақ, мына төмендегі алгебраларда біртипті:

1)  N,  , 1  және  Z, , 0  - типі  2, 0 ;

2)  M_n(R), ,  , E   Q, ,  , 1  - типі  2, 2, 0 ;

3)  P,   және  В (АА), ^-1 - типі  1 ;

4)  P, , ,   және  В ( I ), ‾ , ,   - типі  1, 2, 2 ;

5)  R⁺ ,  , 1  және  R, +, 0 - типі  2, 0 ;

6)  R , 0 , 1  және  В (АА), Δ, АА - типі  0, 0 ;

7)  P,   және  В (АА), ◦  - типі  2 ;

Анықтама. Егер біртипті екі алгебраның біреуінің ізін екіншісінің ізіне бейнелейтін және барлық бас операцияларды сақтайтын бейнелеу болса, онда ол алгебраларды гомоморфты деп, ал бейнелеудің өзін гомоморфизм деп атайды. Егер осы гомоморфизм биективті болса, онда оны изоморфизм деп атайды, ал алгебралар изоморфты деп аталады.

Алгебраның өз-өзіне гомоморфизмі эндоморфизм деп, ал өз-өзіне изоморфизмі автоморфизм деп аталады.